一見異なる形をしている2つの数

√5＋(22+2√5)^1/2

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

A=Bから始まって、辺々2乗して整理する、それを2回繰り返すとA=BにもどるのはA=Bが等しいという証明になるのだろう。

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√5＋(22+2√5)^1/2を2乗すると

27+2√5+2√5(22+2√5)^1/2

27を引いて2で割ると√5＋√5(22+2√5)^1/2

2乗すると

5+5(22+2√5)+10(22+2√5)^1/2

115引いて10で割ると√5+(22+2√5)^1/2

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(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2を2乗すると

11+2√29+16-2√29+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

27+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

27を引いて2で割ると(55-10√29)^1/2+(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

2乗すると

55-10√29+(11+2√29){16-2√29+2(55-10√29)^1/2}+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

55-10√29+(11+2√29){16-2√29}+2(11+2√29)(55-10√29)^1/2+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

55-10√29+176-116+10√29+2√5(11+2√29)(11-2√29)^1/2+2√5(11-2√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

115+10(11+2√29)^1/2+2√5(121-116)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

115+10(11+2√29)^1/2+10{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

115引いて10で割ると(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

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結局この等式は簡単に証明できるものであった。一番のキモは(11+2√29)(55-10√29)=5(11+2√29)(11-2√29)=25となるところであるが、トリックがたくさん隠されている。

しかし、これに気づかず、式の2乗計算をおこなうと何度繰り返しても簡単にはならないのである

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それぞれの数を根とする方程式は

{(x^2-27)/2}^2-115=10x

{(x^2-27)}^2/4=10x+115

{(x^2-27)}^2=40x+460

x^4-54x^2+729=40x+460

f(x)=x^4-54x^2-40x+269=0

f(7)=-256

f(8)=589

意外にも4次方程式であった

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