πは次の積分を用いて周期として表現される。

π=∫∫(x^2+y^2≦1)dxdy=2∫(-1,1)(1-x^2)^1/2dx=∫(-1,1)1/(1-x^2)^1/2dx=∫(-∞,∞)dx(1+x^2)

　ζ（3）は，ｃ：０＜ｘ＜ｙ＜ｚ＜１として,次の積分表示を持つ。

　　ζ（3）＝∫(c)ｄｘｄｙｄｚ／（１−ｘ）ｙｚ

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　１９７９年，程なく，ボイカーズは周期積分の原理を用いた証明を見つけました．ある数が周期であるとは「代数的係数多項式で与えられる領域ｃ上で，代数係数の代数的関数の積分として表される」ことをいいます．→コラム「数にまつわる話」参照

　たとえば，積分

　　Ｉ＝∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ

において，１／（１−ｘｙ）を幾何級数として展開し，項別積分すると

　　Ｉ＝Σ１／（ｎ＋１／２）^2

　このとき，

　　１＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・

の値が必要になりますが，この値はζ（２）＝Σ１／ｎ^2から次のようにして求まります．

　　１＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

　＝（１＋１／２^2＋１／４^2＋・・・）（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

　＝１／（１−１／４）・（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は

　　{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）

となるのです．したがって，

　　∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ＝（４−１）ζ（2）

これはζ（2）のもう一つの周期としての表現を与える。

いま、変数変換x=ξ^2(1+η^2)/(1+ξ^2),y=η^2)(1+ξ^2)/(1+η^2)とすると、ヤコビアンは

|d(x,y)/d(ξ,η)|=4ξη(1-ξ^2η^2)/(1+ξ^2)(1+η^2)=4(1-xy)(xy)^1/2/(1+ξ^2)(1+η^2)

　　Ｉ＝∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ=4∫(0＜ξ,η＜1）dξ/(1+ξ^2)・dη(1+η^2)

＝2∫(0,∞）dξ/(1+ξ^2)∫(0,∞）dη(1+η^2)＝π^2/2

を得る

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