ｙ^2＝４ｘ^3-６０ｇ4ｘ -１４０ｇ6は楕円曲線である。

そのｊ関数はｊ不変量を計算することで

　ｊ(z)＝1728・4(15g4)^3/{4(15g4)^3-27(35g6)^2}

この関数はフーリエ展開を持ち、そのq展開は

j(z)=q^-1+744+19684q+21493760q^2+・・・,q=exp(2πiz)

不思議なことに整数係数になるのである

なお、j(i)=1728,j(ω)=0のようにきわめて超越的な関数が、整数になってしまうのである。

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ヒーグナー・スタークの定理

j(2i)=8000,j((-1+√7i)/2)=-3375

j((-1+√163i)/2)=-(640320)^3

αd=√di (d=1,2 mod 4)

αd=(1+√di)/2 (d=3 mod 4)

j(αd)が整数となることはm+nαdの世界での素因数分解の一意性が成り立つことと同値である。

d={1,2,3,7,11,19,43,67,163}

j(5i)=632000+282880√5

d=5のとき、6=2・3-(1+√5i)(1-√5i)という２通りの分解がある

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