3乗根3√2=αで表す。

(1+4α-4α^2)^n=an+bnα+cnα^2で表すとき、cn≠0であることを示せ

c1=-4

(1+4α-4α^2)^2=-63+40α+8α^2

c2=8

(1+4α-4α^2)^3=(-63+40α+8α^2)(1+4α-4α^2)

=-63+40α+8α^2-252a+160α^2+32α^3+252a^2-160α^3-32α^4

=-63+40α+8α^2-252a+160α^2+64+252a^2-320-64α

=-319-276α+420α^2

c3=420

(1+4α-4α^2)^4=(-319-276α+420α^2)(1+4α-4α^2)

=-319-276α+420α^2-1276α-1104α^2+1680α^3+1276α^2+1104α^3-1680α^4

=-319-276α+420α^2-1276α-1104α^2+3360+1276α^2+2208-3360α

=5249-4912α+592α^2

c4=592

cn+3-3cn+2+99cn+1+31cn=0を満たしている

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x=1+4α-4α^2を解とする方程式を求める

x-1=4α-4α^2

(x-1)^3=64(α-α^2)^3=64α^3(1-3α+3α^2-α^3)

=64・2(-1-3(α-α^2))

=64・2(-1-3(x-1)/4)

x^3-3x^2+99x+31=0

x^(n+3)-3x^(n+2)+99x^(n+1)+31x^n=0

cn+3-3cn+2+99cn+1+31cn=0

３１の倍数と３の倍数があるので、cn (mod 93)を計算すると

-4,8,48,34,31,75,8,8,69,4,172,86,74,78,7,49,12,83,53,33,91,13,51,44,74,51,19,61,69,-4,8,48,・・・

と周期３０で繰り返し０にならないことがわかる

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