3乗根3√2=αで表す。

(1+4α-4α^2)^n=an+bnα+cnα^2で表すとき、cn≠0であることを示せ

c1=-4

(1+4α-4α^2)^2=-63+40α+8α^2

c2=8

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x=1+4α-4α^2を解とする方程式を求める

x-1=4α-4α^2

(x-1)^3=64(α-α^2)^3=64α^3(1-3α+3α^2-α^3)

=64・2(-1-3(α-α^2))

=64・2(-1-3(x-1)/4)

x^3-3x^2+99x+31=0

x^(n+3)-3x^(n+2)+99x^(n+1)+31x^n=0

cn+3-3cn+2+99cn+1+31cn=0

３１の倍数と３の倍数があるので、cn (mod 93)を計算すると

-4,8,48,34,31,75,8,8,69,4,172,86,74,78,7,49,12,83,53,33,91,13,51,44,74,51,19,61,69,-4,8,48,・・・

と周期３０で繰り返し０にならないことがわかる

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x=(1+4α-4α^2)^2=-63+40α+8α^2を解とする方程式を求める

x+63=8α(5+α)

(x+63)^3=64・8α^3(125+75α+15α^2+α^3)=64・16(127+75α+15α^2)

=64・16(127+(x+63)・15/8)

=1920(x+63)+130048

x^3+189x^2+11907x+250047=1920x+120960+130048

x^3+189x^2+9987x-961=0

mod93で考えるにしても

x^3+3x^2+36x-31=0

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x^3-3x^2+99x+31=0はxを解とする

x^2を解とすると仮定すると

x^6-3x^4+99x^2+31=0

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