（Ｑ１）正四面体に立方体を内接させる問題を考えます．正方形の８つの頂点は正四面体の面上にあり，４つの頂点は正四面体の底面に，２つの頂点は斜面に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜面の上にあるものとします．

（Ａ１）正四面体の面上に立方体の１面と１辺と２頂点が接する配置ですが，このとき，正四面体に内接する最大の立方体が得られます．その場合の体積比の計算方法ですが，立方体の上面を延長した正三角形の断面を考えると（Ｑ１）と同じ状況が現れます．

　正四面体の１辺の長さを１とし，立方体の上面を延長させた面が正四面体の斜辺をｙ：１−ｙに内分するとき

　　（２√３−３）ｙ＝（１−ｙ）ｓｉｎ６０°・ｓｉｎδ

　ここでδは正四面体の二面角で，ｃｏｓδ＝１／３ですから，

　　ｓｉｎδ＝２√２／３

したがって，

　　（２√３−３）ｙ＝（１−ｙ）（３／２）^1/2

　　ｙ＝√２／（６−３√３＋√２）

　立方体の１辺の長さは

　　（２√３−３）ｙ＝６／（６＋４√３＋３√６）＝0.295907

ですから，求める体積比は

　　｛６／（６＋４√３＋３√６）｝^3・１２／√２＝0.219852

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