与えられた三角形に内接する最大の長方形は，任意の２辺の中点から他の１辺に垂線をおろしてこれらを対辺とする長方形を描くことによって得られます．鋭角三角形ではこのような長方形は３通り，直角三角形なら２通り，鈍角三角形なら１通りとれます．

　与えられた三角形に内接する最大の長方形の面積は，三角形の面積のちょうど半分ですが，正三角形における最大内接正方形の面積はどのようになるのでしょうか？

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（Ｑ１）正三角形に正方形を内接させる問題を考えます．正方形の４つの頂点は正三角形の辺上にあり，２つの頂点は正三角形の底辺に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜辺の上にあるものとします．

（Ａ１）正三角形の１辺の長さを１とし，正三角形の斜辺上にある正方形の頂点がそれをｘ：１−ｘに内分するとき

　　ｘ＝（１−ｘ）ｓｉｎ６０°

より

　　ｘ＝２√３−３

　　単位正三角形の面積：√３／４

　　最大内接正方形の面積：ｘ^2＝２１−１２√３

であるから，最大内接正方形の面積は最大内接長方形の面積√３／８よりわずかに小さい．

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