３^2＋４^2＝５^2

は、直角を挟む辺が３と４であれば斜辺は５であることを意味している。(3,4,5)は最小のピタゴラス三角形であって、エジプト三角形とも呼ばれる。

先日、横浜桐蔭学園にて高校生相手に準正多面体の面数数え上げについて講演。行列計算は未履修なので、高校生には少し難しかったかもしれません。しかし、その経験を活かして、名古屋の研究会に臨むことができるので、私にとっては収穫がありました。

その際、横浜桐蔭学園ではトーマスオリンピックという数学学力コンテストが実施されていることを知った。その中から、以下の問題を紹介したい。

[Q]エジプト三角形を包む最大の正三角形の面積は？

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エジプト三角形PQ=5,QR=3,RP=4

頂点PはAB上に、QはBC上に、RはCA上にあるものとする

∠ARP=θ

このとき、AR/sin∠APR=PR/∠PAR

AR/sin(2π/3-θ)=4/sinπ/3

AR=8/√3(2π/3-θ)=4cosθ+4/√3sinθ

同様に

RC=√3cosθ+3sinθ

AC=(4/√3+3)sinθ+(4+√3)cosθ

={(4/√3+3)^2+(4+√3)}^1/2sin(θ+α）

AC^2の最大値は{(4/√3+3)^2+(4+√3)}=(100+48√3)/3

正三角形の面積の最大値は√3/4AC^2＝(36+25√3)/3

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