１１・・・１のように各桁の数字がすべて１である数をレプユニットと呼ぶ。

5を約数に持たない奇数1,3,7,9,11,13,・・・はある奇数をかけてすべてレプユニットにすることができる

1→1x11=11

3→3x37=111

7→7x15873=111111

9→9x12345679=111111111

先日、横浜桐蔭学園にて高校生相手に準正多面体の面数数え上げについて講演。行列計算は未履修なので、高校生には少し難しかったかもしれません。しかし、その経験を活かして、名古屋の研究会に臨むことができるので、私にとっては収穫がありました。

その際、横浜桐蔭学園ではトーマスオリンピックという数学学力コンテストが実施されていることを知った。その中から、以下の問題を紹介したい。

[Q]　7xN=11・・・1についてN=15873を求めよ

[Q]　13xN=11・・・1についてN=15873を求めよ

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1/7=0.142857142857・・・

1と5^mの逆数以外はすべて循環小数となる。

割り算してあまりに１が出たところで循環が決まる。

7の場合は

142857x7+1=1000000

142857x7=999999

両辺を９で割ると

15873x7=111111

となる

142857は9を因数にもつだけでなく

142857=9x15873=9x3x11x13x37となるので、この式だけで3,7,11,13,21,33,37,39,・・・についてNが求まる。

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1/13=0.07692376923・・・より

76923x13+1=100000

76923x13=999999

両辺を９で割ると

8547x13=111111

となる

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