３^2＋４^2＝５^2

は、直角を挟む辺が３と４であれば斜辺は５であることを意味している。(3,4,5)は最小のピタゴラス三角形であって、エジプト三角形とも呼ばれる。

先日、横浜桐蔭学園にて高校生相手に準正多面体の面数数え上げについて講演。行列計算は未履修なので、高校生には少し難しかったかもしれません。しかし、その経験を活かして、名古屋の研究会に臨むことができるので、私にとっては収穫がありました。

その際、横浜桐蔭学園ではトーマスオリンピックという数学学力コンテストが実施されていることを知った。その中から、以下の問題を紹介したい。

[Q]　3^k+4^l=5^mを満たす自然数(k,l,m)を求めよ

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3^k+4^l=(4-1)^k+4^l=4N+(-1)^k

5^m=(4+1)^m=4M+1

(-1)^k=1より、ｋは偶数。k=2p

3^k+4^l=3^k+(3+1)^l=3N+1

5^m=(6-1)^m=3M+(-1)^m

(-1)^m=1より、mは偶数。m=2q

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以上より

　3^k+4^l=5^m　→　3^2p+2^2l=5^2qとなる。

2^2l=5^2q-3^2p=(5^q+3^p)(5^q-3^p)

5^q+3^p=2^α [1]

5^q-3^p=2^β [2]

α＞β,α＋β=2l

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[1]-[2]より

2・3^p=2^α-2^β

3^p=2^(β-1)(2^(α-β)-1)

2^(β-1)=1→β=1,2^(2l-2)-1=3^p

(2^(l-1)-1)(2^(l-1)-1)=3^p

2^(l-1)+1=3^p1 [3]

2^(l-1)-1=3^p2 [4]

p1＞p2,p1+p2=p

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[3]-[4]より

2=3^p1-3^p2=3^p2(3^(p1-p2)-1)

3^p1=1

3^(p1-p2)-1=2

pi=1,p2=0,l=2,p=1

2^(l-1)+1=3^p1 [3]

2^(l-1)-1=3^p2 [4]

p1＞p2,p1+p2=p

　3^2+4^4=5^2q→2q=2

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(k,l,m)=(2,2,2)

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