一見異なる形をしている2つの数

√5＋(22+2√5)^1/2

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。しかしながら、辺々2乗してそれを確かめようとしてもうまくいかないのである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

{√5＋(22+2√5)^1/2}^2=5+22+2√5+2(110+10√5)^1/2=27+2√5+2(110+10√5)^1/2

{(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2}^2=11+2√29+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

=11+2√29+16-2√29+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

=27+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

√5+(110+10√5)^1/2=(55-10√29)^1/2+(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

数値は多少変わっているが、形は変わっていない。その後何回も辺々2乗を繰り返したが、式が複雑になるだけで等しいことを示せないまま打ち切りとなった。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

もう一段、辺々2乗して整理すると、

5√5+(550+50√5)^1/2=(11+2√29)(55-10√29)^1/2+(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

5√5+5(22+2√5)^1/2=(11+2√29)(55-10√29)^1/2+√5(11-2√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

5√5+5(22+2√5)^1/2=√5(11+2√29)(11-2√29)^1/2+5{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

5√5+5(22+2√5)^1/2=5(11+2√29)^1/2+5{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

√5+(22+2√5)^1/2=(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

元に戻ってしまった

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

しかし、A=Bから始まって、辺々2乗して整理する、それを2回繰り返すとA=BにもどるのはA=Bが等しいという証明になるのだろう。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

√5＋(22+2√5)^1/2を2乗すると

27+2√5+2√5(22+2√5)^1/2

27を引いて2で割ると√5＋√5(22+2√5)^1/2

2乗すると

5+5(22+2√5)+10(22+2√5)^1/2

115引いて10で割ると√5+(22+2√5)^1/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2を2乗すると

11+2√29+16-2√29+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

27+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

27を引いて2で割ると(55-10√29)^1/2+(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

2乗すると

55-10√29+(11+2√29){16-2√29+2(55-10√29)^1/2}+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

55-10√29+(11+2√29){16-2√29}+2(11+2√29)(55-10√29)^1/2+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

55-10√29+176-116+10√29+2√5(11+2√29)(11-2√29)^1/2+2√5(11-2√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

115+10(11+2√29)^1/2+2√5(121-116)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

115+10(11+2√29)^1/2+10{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

115引いて10で割ると(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝