一見異なる形をしている2つの数

√5＋(22+2√5)^1/2

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。しかしながら、辺々2乗してそれを確かめようとしてもうまくいかないのである。

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{√5＋(22+2√5)^1/2}^2=5+22+2√5+2(110+10√5)^1/2=27+2√5+2(110+10√5)^1/2

{(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2}^2=11+2√29+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

=11+2√29+16-2√29+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

=27+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

√5+(110+10√5)^1/2=(55-10√29)^1/2+(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

数値は多少変わっているが、形は変わっていない。その後何回も辺々2乗を繰り返したが、式が複雑になるだけで等しいことを示せないまま打ち切りとなった。

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もう一段、辺々2乗して整理すると、

5√5+(550+50√5)^1/2=(11+2√29)(55-10√29)^1/2+(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

5√5+5(22+2√5)^1/2=(11+2√29)(55-10√29)^1/2+√5(11-2√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

5√5+5(22+2√5)^1/2=√5(11+2√29)(11-2√29)^1/2+5{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

5√5+5(22+2√5)^1/2=5(11+2√29)^1/2+5{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

√5+(22+2√5)^1/2=(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

元に戻ってしまった

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