すべての円周等分方程式は代数的に解くことができる

同時にその解法を１の17乗根を求める方程式に適用し、1の17乗根が平方根だけで表されることにガウスは気づいた。

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すべての円周等分方程式は代数的に解くことができる

たとえば、

cos(2π/7)=-1/6{-1+A+B}

A={7/2(1+i3√3)}^1/3

B={7/2(1-i3√3)}^1/3

2cos(2π/11)=-1/5{-1+A+B+C+D}

A={-11/4(89+25√5+5√(410-i178√5)}^1/5

B={-11/4(89-25√5+5√(410+i178√5)}^1/5

C={-11/4(89-25√5-5√(410+i178√5)}^1/5

D={-11/4(89-25√5-5√(410-i178√5)}^1/5

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cos(2π/17)=1/16{-1+√17+A+2B}

A={34-2√17}^1/2

B={17+3√17-√(170+38√17)}^1/2

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これらの解はこれまで計算した値と等しいのだろうか？

w={-1+√5+i(10+2√5)^1/2}/4

w^2={-1-√5+i(10-2√5)^1/2}/4

w^3={-1-√5-i(10-2√5)^1/2}/4

w^4={-1+√5-i(10+2√5)^1/2}/4

α=[-11/4{89+25√5+i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

β=[-11/4{89-25√5+i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

γ=[-11/4{89-25√5-i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

δ=[-11/4{89+25√5-i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

a=(α+β+γ+δ-1)/5に代入すればa=z+1/z=2cos(2π/11)がわかるはずであるが、実際はもっと複雑な式になるという

cos(2π/11)=-1/10+w/10(α)+w/10(β)+w^4/10(γ)+w^4/10(δ)

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5(10+2√5)^1/2+4(10−2√5)^1/2=(5-2√5)^1/2+9(5+2√5)^1/2

4(10+2√5)^1/2-5(10−2√5)^1/2=9(5-2√5)^1/2-(5+2√5)^1/2

5(10+2√5)^1/2-4(10−2√5)^1/2=9(5-2√5)^1/2+(5+2√5)^1/2

4(10+2√5)^1/2+5(10−2√5)^1/2=-(5-2√5)^1/2+9(5+2√5)^1/2

が成り立つ

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Re(wα)=-11/16{(89+25√5)(-1+√5)-(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2)(10+2√5)^1/2}

Im(wα)=-11/16{(89+25√5)(10+2√5)^1/2-(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2)(-1+√5)}

Re(wβ)=-11/16{(89-25√5)(-1+√5)-(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2)(10+2√5)^1/2}

Im(wβ)=-11/16{(89-25√5)(10+2√5)^1/2-(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2)(-1+√5)}

Re(wγ)=-11/16{(89-25√5)(-1+√5)+(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2)(10+2√5)^1/2}

Im(wγ)=+11/16{(89-25√5)(10+2√5)^1/2-(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2)(-1+√5)}

Re(wδ)=-11/16{(89+25√5)(-1+√5)+(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2)(10+2√5)^1/2}

Im(wδ)=+11/16{(89+25√5)(10+2√5)^1/2-(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2)(-1+√5)}

Re(wα)+Re(wδ)=-11/8{(89+25√5)(-1+√5)}

Re(wβ)+Re(wγ)=-11/8{(89-25√5)(-1+√5)}・・・符号が違っているようだ

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5(10+2√5)^1/2+4(10−2√5)^1/2=(5-2√5)^1/2+9(5+2√5)^1/2

辺々２乗すれば左辺＝右辺となる。

25(10+2√5)+16(10-2√5)+40(10+2√5)^1/2(10−2√5)^1/2=(5-2√5)+81(5+2√5)+18(5-2√5)^1/2(5+2√5)^1/2

410+18√5+40(100-20)^1/2=410+160√5+18(25-20)^1/2

410+18√5+160√5=410+160√5+18√5・・・一致

410+178√5

4(10+2√5)^1/2-5(10−2√5)^1/2=9(5-2√5)^1/2-(5+2√5)^1/2

16(10+2√5)+25(10−2√5)-40(100-20)^1/2=81(5-2√5)+(5+2√5)-18(25-20)^1/2

410-18√5-160√5=410-160√5-18√5・・・一致

410+178√5

5(10+2√5)^1/2-4(10−2√5)^1/2=9(5-2√5)^1/2+(5+2√5)^1/2

25(10+2√5)+16(10−2√5)-40(100-20)^1/2=81(5-2√5)+(5+2√5)+18(25-20)^1/2

410+18√5-160√5=410-160√5+18√5・・・一致

410-142√5

4(10+2√5)^1/2+5(10−2√5)^1/2=-(5-2√5)^1/2+9(5+2√5)^1/2

16(10+2√5)+25(10−2√5)+40(100-20)^1/2=(5-2√5)+81(5+2√5)-18(25-20)^1/2

410-18√5+160√5=410+160√5-18√5・・・一致

410-142√5

平方根をとっても

(410-i178√5)

(410+i178√5)

にはならないと思われる

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(5-2√5)^1/2+9(5+2√5)^1/2は2乗すれば410+178√5になるが

(410+i178√5)^1/2は2乗しても410+i178√5になってしまうからである

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