すべての円周等分方程式は代数的に解くことができる

同時にその解法を１の17乗根を求める方程式に適用し、1の17乗根が平方根だけで表されることにガウスは気づいた。

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すべての円周等分方程式は代数的に解くことができる

たとえば、

cos(2π/7)=-1/6{-1+A+B}

A={7/2(1+i3√3)}^1/3

B={7/2(1-i3√3)}^1/3

2cos(2π/11)=-1/5{-1+A+B+C+D}

A={-11/4(89+25√5+5√(410-i178√5)}^1/5

B={-11/4(89-25√5+5√(410+i178√5)}^1/5

C={-11/4(89-25√5-5√(410+i178√5)}^1/5

D={-11/4(89-25√5-5√(410-i178√5)}^1/5

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cos(2π/17)=1/16{-1+√17+A+2B}

A={34-2√17}^1/2

B={17+3√17-√(170+38√17)}^1/2

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これらの解はこれまで計算した値と等しいのだろうか？

　３次方程式：ｘ^3＝ｐｘ＋ｑの解は

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２−√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

で与えられる．

y^3+y^2-2y-1=0

y=x-1/3とおく

x^3-x^2+x/3-1/27+x^2-2x/3+1/9-2x+2/3-1=0

x^3-7x/3-1/27+3/27-9/27=0

x^3-7x/3-7/27=0

x^3-7x/3+11/27=0、p=7/3,q=+7/27

A=7/54+{(7/54)^2-(7/9)^3}^1/2

B=7/54-{(7/54)^2-(7/9)^3}^1/2

A=7/54+(21i√3)/54

B=7/54-(21 i√3)/54

y=3√Ａ＋3√Ｂ-1/3=α＋β-1/3

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カルダノの解に対してもファンデルモンド行列を用いると

w={-1+i√3}/2

w^2={-1-i√3}/2

に対して

z0=α＋β

z1=wα＋w^2β

z2=w^2α＋wβ

z0z1z2=α^3＋β^3

2cos(2π/7)=-1/3+α+β

2cos(4π/7)=-1/3+w^2α+wβ

2cos(6π/7)=-1/3+wα+w^2β

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2cos(2π/7)=-1/3+α+β

α={7/54+(21i√3)/54}^1/3

β={7/54-(21 i√3)/54}^1/3

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一方

2cos(2π/7)=-1/3{-1+A+B}＝1/3-A/3-B/3

A/3={7/54(1+i3√3)}^1/3

B/3={7/54(1-i3√3)}^1/3

符号が異なっている

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