３次方程式：ｘ^3＝ｐｘ＋ｑの解は

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２−√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

で与えられる．

y^3-3y+1=0,p=3,q=-1

A=-1/2+{(1/2)^2-1}^1/2

B=-1/2-{(1/2)^2-1}^1/2

A=-1/2+(i√3)/2

B=-1/2-( i√3)/2

y=3√Ａ＋3√Ｂ

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カルダノの解に対してもファンデルモンド行列を用いると

w={-1+i√3}/2

w^2={-1-i√3}/2

に対して

z0=α＋β

z1=wα＋w^2β

z2=w^2α＋wβ

z0z1z2=α^3＋β^3

2cos(2π/9)=α+β

2cos(4π/9)=w^2α+wβ

2cos(6π/9)=1

2cos(8π/9)=wα+w^2β

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以下に、右辺と左辺を別個に計算するプログラムと計算結果を示す。

r(cost+isint)の3乗根といっても一意には定まらず

r^1/3(cos(t+2nπ)/3+isin(t+2nπ)/3)となること

arctan(x)の組み込み関数の性質の取り扱いに注意

1.53209 3.8147E-06

1.53209 1.43051E-06

.347293 7.86781E-06

.347298 -5.24521E-06

-.999997 8.58307E-06

-1.87939 0

-1.87938 1.23978E-05

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y^4+y^3-3y^2-2y+1=0がもともとの方程式であるから

これで、

2cos(2π/9)+2cos(4π/9)+2cos(6π/9)+2cos(8π/9)=-1

2cos(2π/9)・2cos(4π/9)・2cos(6π/9)・2cos(8π/9)=-1

であることが数値計算的にも確かめられたことになる

2cos(2π/9)+2cos(4π/9)+2cos(8π/9)=0

2cos(2π/9)・2cos(4π/9)・2cos(8π/9)=1

であることが数値計算的にも確かめられたことになる

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