３次方程式：ｘ^3＝ｐｘ＋ｑの解は

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２−√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

で与えられる．

y^3-3y+1=0,p=3,q=-1

A=-1/2+{(1/2)^2-1}^1/2

B=-1/2-{(1/2)^2-1}^1/2

A=-1/2+(i√3)/2

B=-1/2-( i√3)/2

y=3√Ａ＋3√Ｂ

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カルダノの解に対してもファンデルモンド行列を用いると

w={-1+i√3}/2

w^2={-1-i√3}/2

に対して

z0=α＋β

z1=wα＋w^2β

z2=w^2α＋wβ

z0z1z2=α^3＋β^3

2cos(2π/9)=α+β

2cos(4π/9)=w^2α+wβ

2cos(6π/9)=1

2cos(8π/9)=wα+w^2β

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以下に、右辺と左辺を別個に計算するプログラムと計算結果を示す。

r(cost+isint)の3乗根といっても一意には定まらず

r^1/3(cos(t+2nπ)/3+isin(t+2nπ)/3)となること

arctan(x)の組み込み関数の性質の取り扱いに注意

1.53209 3.8147E-06

1.53209 1.43051E-06

.347293 7.86781E-06

.347298 -5.24521E-06

-.999997 8.58307E-06

-1.87939 0

-1.87938 1.23978E-05

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1000 PI=3.14159

1010 A=-1/2

1020 B=1/2*SQR(3)

1030 W0=0:W1=PI*2/3:W2=PI*4/3

1040 DIM W(10)

1050 '

1060 PFILE$="scrn:":'pfile$="b:12345.txt"

1070 OPEN PFILE$ FOR OUTPUT AS #1

1080 W(1)=W0:W(2)=W0:GOSUB *CALC1

1090 Y=2*COS(PI*2/9)

1100 PRINT #1,Y,Y^3-3*Y+1

1110 '

1120 W(1)=W2:W(2)=W1:GOSUB *CALC1

1130 Y=2*COS(PI*4/9)

1140 PRINT #1,Y,Y^3-3*Y+1

1150 '

1160 'W(1)=W0:W(2)=W0:GOSUB *CALC1

1170 PRINT #1," "

1180 Y=2*COS(PI*6/9)

1190 PRINT #1,Y,(Y^3-3*Y+1)*(Y+1)

1200 '

1210 W(1)=W1:W(2)=W2:GOSUB *CALC1

1220 Y=2*COS(PI*8/9)

1230 PRINT #1,Y,Y^3-3*Y+1

1240 '

1250 CLOSE #1

1260 END

1270 '

1280 *CALC1:

1290 SS=0:TT=0

1300 REA=A:IMA=B :WA= PI/3:WZ=W(1):GOSUB *CALC2

1310 REA=A:IMA=-B :WA=-PI/3:WZ=W(2):GOSUB *CALC2

1320 Y=SS

1330 PRINT #1," "

1340 PRINT #1,Y,Y^3-3*Y+1

1350 RETURN

1360 '

1370 *CALC2:

1380 ZA=SQR(REA^2+IMA^2)

1390 TANA=IMA/REA

1400 TH=ATN(TANA)

1410 'PRINT COS(TH/3+WA)*ZA^(1/3)

1420 'PRINT SIN(TH/3+WA)*ZA^(1/3)

1430 REZ=COS(TH/3+WA+WZ)*ZA^(1/3)

1440 IMZ=SIN(TH/3+WA+WZ)*ZA^(1/3)

1450 'PRINT REZ

1460 SS=SS+REZ

1470 TT=TT+IMZ

1480 RETURN

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