■正多角形の作図と原始根(その192)
z^10+z^9+・・・+z+1=0の10根の置換はn−1=5・2と素因数分解されることから,次数11の円分方程式が1つの5次方程式とひとつの2次方程式の解法に帰着することを示している.
そのような周期はz+z^10,z^2+z^9,z^3+z^8,z^4+z^7,z^5+z^6である。
一つの周期に含まれる2元は互いの他の逆数であるから、z^5で割ってから,y=-(x+1/x)を代入すると
y^5-y^4-4y^3+3y^2+3y-1=0
が得られる。もしこの方程式の解αが根号によって見いだされるならば、1の11乗根を求めるには、x^2+αx+1=0を解きさえすればよく、それは根号によってあらわされるのであるが、5次方程式には一般的な解法が存在しない。
それに対して、n-1が2のベキであるときには補助方程式はすべて2次であるから、円分方程式の解法はかなり簡単である。
n-1が2のベキとなる素数で知られているものは、3,5,17,257,65537だけである。
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y^5-y^4-4y^3+3y^2+3y-1=0
は根号を使って解ける方程式なのであるが、その解法がわからない
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z^10+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0
z^5+z^4+z^3+z^2+z+1+1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4+1/z^5=0
(z+1/z)^5=z^5+5z^4・1/z+10z^3・1/z^2+10z^2・1/z^3+5z・1/z^4+1/z^5=(z^5+1/z^5)+5(z^3+1/z^3)+10(z+1/z)
(z+1/z)^4=z^4+4z^3・1/z+6z^2・1/z^2+4z・1/z^3+1/z^4=(z^4+1/z^4)+4(z^2+1/z^2)+6
(z+1/z)^3=z^3+3z^2・1/z+3z・1/z^2+1/z^3=(z^3+1/z^3)+3(z+1/z)
(z+1/z)^2=z^2+2z・1/z+1/z^2=(z^2+1/z^2)+2
(z^5+1/z^5)=y^5-5(z^3+1/z^3)-10y=y^5-5y^3+15y-10y=y^5-5y^3+5y
(z^4+1/z^4)=y^4-4(z^2+1/z^2)-6=y^4-4y^2+8-6=y^4-4y^2+2
(z^3+1/z^3)=y^3-3y
(z^2+1/z^2)=y^2-2
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正9角形の場合
z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0
z^4+z^3+z^2+z+1+1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4=0
(z^4+1/z^4)=y^4-4y^2+2
(z^3+1/z^3)=y^3-3y
(z^2+1/z^2)=y^2-2
y^4-4y^2+2+y^3-3y+y^2-2+y+1=0
y^4+y^3-3y^2-2y+1=0
この方程式の解は2cos(2πk/9),k=1-3になる
2cos(2π/9)=1.53209
2cos(4π/9)=.347298
2cos(6π/9)=-1
2cos(8π/9)=-1.87938
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y^4+y^3-3y^2-2y+1=0
y^4+y^3-3y^2-2y+1=0
y=x-1/4とおく
x^4-x^3+6x^2/16-x/16+x^3-3x^2/4+3x/16-1/64-3x^2+3/2x-3/16-2x+1/2+1=0
とすると面倒になる
y^4+y^3-3y^2-2y+1=(y+1)(y^3-3y+1)=0
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