x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0

は正11角形の2cos(2π/11) ,2cos(4π/11),・・・, 2cos(10π/11)に相当する方程式です。

5乗根を使って解くことができるはずなのですが、解析解を求めることができなかった。

予想としては、5乗根と平方根は出現するが、3乗根、４乗根は現れない

そのことを確かめたかったのです。べき根で表せるかというのは、ガロア群の話ですね、どうするんだっけ..

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知り合いに頼んで、Mathematica に解かせてみましたが、

x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0 の解である

としか言ってくれません. それでは

Cos(2π/11), Cos(4π/11), Cos(6π/11), Cos(8π/11), Cos(10π/11)の値を直接求めてもらったのですが、数値は出ますが、それ以上のことはわからないようです。

In := Table[Cos[2 Pi k/11], {k, 1, 5}]

Out = {Cos[(2 \[Pi])/11], Sin[(3 \[Pi])/22], -Sin[\[Pi]/22], -Sin[(5 \[Pi])/22], -Cos[\[Pi]/11]}

In := N[Table[Cos[2 Pi k/11], {k, 1, 5}]]

Out= {0.841254, 0.415415, -0.142315, -0.654861, -0.959493}

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5乗根と平方根は出現するが、3乗根、４乗根は現れないことが確かめられた。やれやれ・・・

w={-1+√5+i(10+2√5)^1/2}/4

w^2={-1-√5+i(10-2√5)^1/2}/4

w^3={-1-√5-i(10-2√5)^1/2}/4

w^4={-1+√5-i(10+2√5)^1/2}/4

α=[-11/4{89+25√5+i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

β=[-11/4{89-25√5+i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

γ=[-11/4{89-25√5-i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

δ=[-11/4{89+25√5-i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

とおくと

cos(2π/11)=-1/10+w/10(α)+w/10(β)+w^4/10(γ)+w^4/10(δ)

cos(4π/11)=-1/10+1/10(α)+w^4/10(β)+w/10(γ)+1/10(δ)

cos(6π/11)=-1/10+w^3/10(α)+1/10(β)+1/10(γ)+w^2/10(δ)

cos(8π/11)=-1/10+w^4/10(α)+w^2/10(β)+w^3/10(γ)+w/10(δ)

cos(10π/11)=-1/10+w^2/10(α)+w^3/10(β)+w^2/10(γ)+w^3/10(δ)

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