ωj=exp(2πij/k),ω=exp(2πi/k) とするとき、 ファンデルモンド行列は

Ωk=|1,1,・・・,1|

|ω0,ω1,・・・,ωk-1|

|ω0^2,ω1^2,・・・,ωk-1^2|=|ω^ij|

|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・|　　

|ω0^k-1,ω1^k-1,・・・,ωk-1^k-1|

Ωkは対称行列で、その転置行列と一致する。また、複素共役行列Ωk~とすると直交性

Ωk・(Ωk~)'=kI

が成り立ち、

|detΩk|=k^(k/2)

となる

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【１】アダマール行列

　アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから，

　　ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn

が成り立つ．

　　ｄｅｔ｜ｎＩn｜＝ｎ^n

より

　　ｄｅｔ｜Ｈn｜＝ｎ^n/2

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【２】アダマールの定理

　もっと一般に，各成分が１か−１のｎ×ｎ行列の行列式はｎ^n/2以下である．

　アダマールの定理の証明は，行列式の幾何学的意味を理解すれば簡単である．行列式の絶対値は，ｎ個のそれぞれの長さ√ｎの行ベクトルが作るｎ次元平行六面体の体積だから，その値は（√ｎ）^n＝ｎ^n/2以下である．等号はベクトル同士が全部直交するときに限る．

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