ｎ＝１１の場合もｙ＝ｘ＋１／ｘとおくと，５次方程式

　　ｙ^5＋ｙ^4−４ｙ^3−３ｙ^2＋３ｙ＋１＝０

に帰着する．ここではｎ＝１１のとき（平方根でなく）ベキ根の組み合わせ根を用いて表現できることを確かめたい．特殊な方程式であることを積極的に活用するのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　τν＝１／５・Σα^(j-1)νρj

　　ρk＝１／５・Σα^(1-k)ντν

とおき，集合｛τ1^5，τ2^5，τ3^5，τ4^5｝を考える．

　　ρj＝２ｃｏｓ（２^j-1・２π／１１）＝ｅ（２^j-1／１１）＋ｅ（−２^j-1／１１）

とし，次の関係式に注意する．

　　ρj^2＝ρj+1＋２，ｊｍｏｄ５

　　ρ1ρ2＝ρ1＋ρ4，ρ1ρ3＝ρ4＋ρ5，ρ1ρ4＝ρ2＋ρ3

　　ρ1ρ5＝ρ3＋ρ5，ρ2ρ3＝ρ3＋ρ5，ρ2ρ4＝ρ1＋ρ5

　　ρ2ρ5＝ρ3＋ρ4，ρ3ρ4＝ρ1＋ρ3，ρ3ρ5＝ρ1＋ρ2

　　ρ4ρ5＝ρ2＋ρ4

これより，

　　τν^5＝ΣＭνk（α）ρk

　また，巡回置換σ：ρj→ρj+1，ｊｍｏｄ５ρとこれらの関係式は交換可能．したがって，

　（ρ1ρ2）^σ＝ρ1^σ＋ρ4^σ＝ρ2＋ρ3＝ρ2ρ3＝ρ1^σρ2^σ

とくに，

　（τν^5）^σ＝（τν^σ）^5＝（α^-στν）^5＝τν^5

これより

　　τν^5＝１／５・Σ（τν^5）^σ^e＝１／５・ΣΣＭνk（α）ρk+e

＝−１／５・ΣＭνk（α）

　　ρk＝１／５・Σα^(1-k)ντν

であるから，ｃｏｓ（２π／１１）はＱ［ｅ（１／５）］の元の５乗根をもって表現される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

a=z+z^10=z+1/z

b=z^2+z^9

c=z^3+z^8

d=z^4+z^7

e=z^5+z^6とおく。

これはファンデルモンドの考えた方法である。

x^5=1の複素数根をw,w^2,w^3,w^4としてw^5=1,1+w+w^2+w^3+w^4=0

α=a+bw+cw^2+dw^3+ew^4

β=a+bw^2+cw+dw^4+ew^3

γ=a+bw^3+cw^4+dw+ew^2

δ=a+bw^4+cw^2+dw^3+ew

とおくと

a=(α+β+γ+δ-1)/5

b=(αw^4+βw^3+γw^2+δw-1)/5

c=(αw^2+βw^4+γw+δw^3-1)/5

d=(αw^3+βw+γw^4+δw^2-1)/5

e=(αw+βw^2+γw^3+δw^4-1)/5

α^5=-194-128w+257w^2-18w^3+92w^4

β^5=-194-128w^2+257w^4-18w+92w^3

γ^5=-194-128w^3+257w-18w^4+92w^2

δ^5=-194-128w^4+257w^3-18w^2+92w

w={-1+√5+i(10+2√5)^1/2}/4

w^2={-1-√5+i(10-2√5)^1/2}/4

w^3={-1-√5-i(10-2√5)^1/2}/4

w^4={-1+√5-i(10+2√5)^1/2}/4

より

α=[-11/4{89+25√5+i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

β=[-11/4{89-25√5+i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

γ=[-11/4{89-25√5-i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

δ=[-11/4{89+25√5-i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

a=(α+β+γ+δ-1)/5に代入すればa=z+1/z=2cos(2π/11)がわかるはずであるが、実際はもっと複雑な式になるという

cos(2π/11)=-1/10+w/10(α)+w/10(β)+w^4/10(γ)+w^4/10(δ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

cos(4π/11)=-1/10+1/10(α)+w^4/10(β)+w/10(γ)+1/10(δ)

cos(6π/11)=-1/10+w^3/10(α)+1/10(β)+1/10(γ)+w^2/10(δ)

cos(8π/11)=-1/10+w^4/10(α)+w^2/10(β)+w^3/10(γ)+w/10(δ)

cos(10π/11)=-1/10+w^2/10(α)+w^3/10(β)+w^2/10(γ)+w^3/10(δ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ファンデルモンドの方法は、有限フーリエ級数を用いるもので、３次方程式の解法に対するカルダノの方法でも同じ方法が使える.

お化け煙突やお化けペンタグラムの設計にも使えるのではないかと思う

　　ｙ^5＋ｙ^4−４ｙ^3−３ｙ^2＋３ｙ＋１＝０

の解は

cos(4π/11)=-1/10+1/10(α)+w^4/10(β)+w/10(γ)+1/10(δ)

cos(6π/11)=-1/10+w^3/10(α)+1/10(β)+1/10(γ)+w^2/10(δ)

cos(8π/11)=-1/10+w^4/10(α)+w^2/10(β)+w^3/10(γ)+w/10(δ)

cos(10π/11)=-1/10+w^2/10(α)+w^3/10(β)+w^2/10(γ)+w^3/10(δ)

の２倍である。

以下に、右辺と左辺を別個に計算するプログラムと計算結果を示す。

r(cost+isint)の５乗根といっても一意には定まらず

r^1/5(cos(t+2nπ)/5+isin(t+2nπ)/5)となること

arctan(x)の組み込み関数の性質の取り扱いに注意

1.6825 -6.00815E-05

1.68251 5.24521E-06

.830829 3.57628E-06

.830831 -7.39098E-06

-.284629 8.9407E-07

-.284627 9.11951E-06

-1.30972 9.05991E-06

-1.30972 -8.34465E-06

-1.91899 -1.4782E-05

-1.91898 1.57356E-05

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1000 PI=3.14159

1010 A=89+25*SQR(5):A=-A*11/4

1020 B=89-25*SQR(5):B=-B*11/4

1030 C=5*SQR(5+2*SQR(5)):C=-C*11/4

1040 D=45*SQR(5-2*SQR(5)):D=-D*11/4

1050 E=5*SQR(5-2*SQR(5)):E=-E*11/4

1060 F=45*SQR(5+2*SQR(5)):F=-F*11/4

1070 W0=0:W1=PI*2/5:W2=PI*4/5:W3=PI*6/5:W4=PI*8/5

1080 DIM W(10)

1090 '

1100 PFILE$="scrn:":'pfile$="b:12345.txt"

1110 OPEN PFILE$ FOR OUTPUT AS #1

1120 W(1)=W1:W(2)=W1:W(3)=W4:W(4)=W4:GOSUB *CALC1

1130 Y=2*COS(PI*2/11)

1140 PRINT #1,Y,Y^5+Y^4-4*Y^3-3*Y^2+3*Y+1

1150 '

1160 W(1)=W0:W(2)=W4:W(3)=W1:W(4)=W0:GOSUB *CALC1

1170 Y=2*COS(PI*4/11)

1180 PRINT #1,Y,Y^5+Y^4-4*Y^3-3*Y^2+3*Y+1

1190 '

1200 W(1)=W3:W(2)=W0:W(3)=W0:W(4)=W2:GOSUB *CALC1

1210 Y=2*COS(PI*6/11)

1220 PRINT #1,Y,Y^5+Y^4-4*Y^3-3*Y^2+3*Y+1

1230 '

1240 W(1)=W4:W(2)=W2:W(3)=W3:W(4)=W1:GOSUB *CALC1

1250 Y=2*COS(PI*8/11)

1260 PRINT #1,Y,Y^5+Y^4-4*Y^3-3*Y^2+3*Y+1

1270 '

1280 W(1)=W2:W(2)=W3:W(3)=W2:W(4)=W3:GOSUB *CALC1

1290 Y=2*COS(PI*10/11)

1300 PRINT #1,Y,Y^5+Y^4-4*Y^3-3*Y^2+3*Y+1

1310 CLOSE #1

1320 END

1330 '

1340 *CALC1:

1350 SS=0:TT=0

1360 REA=A:IMA=-C+D:WA=-PI/5:WZ=W(1):GOSUB *CALC2

1370 REA=B:IMA=E+F :WA=-PI/5:WZ=W(2):GOSUB *CALC2

1380 REA=B:IMA=-E-F:WA= PI/5:WZ=W(3):GOSUB *CALC2

1390 REA=A:IMA=C-D :WA= PI/5:WZ=W(4):GOSUB *CALC2

1400 Y=(-1+SS)/5

1410 PRINT #1," "

1420 PRINT #1,Y,Y^5+Y^4-4*Y^3-3*Y^2+3*Y+1

1430 RETURN

1440 '

1450 *CALC2:

1460 ZA=SQR(REA^2+IMA^2)

1470 TANA=IMA/REA

1480 TH=ATN(TANA)

1490 'PRINT COS(TH/5+WA)*ZA^(1/5)

1500 'PRINT SIN(TH/5+WA)*ZA^(1/5)

1510 REZ=COS(TH/5+WA+WZ)*ZA^(1/5)

1520 IMZ=SIN(TH/5+WA+WZ)*ZA^(1/5)

1530 'PRINT REZ

1540 SS=SS+REZ

1550 TT=TT+IMZ

1560 RETURN

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