多角形を円で囲む無操作を続けると，円の半径はどんどん大きくなり，やがて無限大になると思われるかもしれない．実際，円は当初きわめて速く大きくなるが，拡大の速度は徐々に低下し，円の半径は，無限乗積

　　Ｒ＝１／ｃｏｓ（π／３）・１／ｃｏｓ（π／４）・１／ｃｏｓ（π／５）・１／ｃｏｓ（π／６）・・・＝０．８７０００３

に近づくのである．

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【１】無限に拡大する円？

　半径ｒ3の円がある．その円に正三角形を外接させる．その三角形に半径Ｒ3の円を外接させる．その円に正方形を外接させる．その正方形に半径Ｒ4の円を外接させる．その円に正五角形を外接させる．その正五角形に半径Ｒ5の円を外接させる・・・．正多角形は外側にいくほど大きくなるが，無限に大きくなるか？

［Ａ２］

　　Ｒn／ｒn＝１／ｃｏｓ（π／ｎ）

　　ΠＲi／ｒi＝Π１／ｃｏｓ（π／ｉ）

　ｎ→∞のとき，１／ｃｏｓ（π／ｎ）→１となるのは，おなじみの内接（外接）する正多角形の辺の数→∞のとき，その多角形の周長の上限（下限）が円周の長さであることを表している．

　ここで

　　Ｒ3＝ｒ4，Ｒ4＝ｒ5，Ｒ5＝ｒ6，・・・

より

　　Ｒn＝ｒ3Π１／ｃｏｓ（π／ｉ）　　　(i=3~n)

　実際に無限乗積Π１／ｃｏｓ（π／ｉ）の計算をしてみると，８．７０に収束した．

　　Π１／ｃｏｓ（π／ｉ）→８．７０

　　Ｒn→ｒ3×８．７０

　無限に大きくなっていくように思えるが，実際には上限があって，最初の円ｒ3のおよそ９倍を超えることはできないのである．

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ケプラーによる惑星の入れ子構造モデルでは、水星の軌道球面に正八面体を外接させ、正八面体に球を外接させる。この球面は金星の軌道球面である。

さらに、この球面に正20面体を外接させ、正20面体に球を外接させる。この球面は地球の軌道球面である。

さらに、この球面に正12面体を外接させ、正12面体に球を外接させる。この球面は火星の軌道球面である。

さらに、この球面に正4面体を外接させ、正4面体に球を外接させる。この球面は木星の軌道球面である。

さらに、この球面に立方体を外接させ、立方体に球を外接させる。この球面は土星の軌道球面である。

地球は正20面体と正12面体に挟まれて存在するのであるが、観測データとは大雑把にしか一致していなかった。その後。天王星や海王星が発見されたのである。

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