直線を直線に写し、直線の平行性を保つのがアフィン写像である。正k角形のアフィン写像をあるｋ角形はアフィン正ｋ角形である。

ファンデルモンドの方法は、有限フーリエ級数を用いるもので、３次方程式の解法に対するカルダノの方法でも同じ方法が使える.

お化け煙突やお化けペンタグラムの設計にも使えるのではないかと思う

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共通の中心を持つ円C,C'に正五角形を内接させる

C={u0,u1,u2,u3,u4}

C'={v0,v1,v2,v3,v4}

Cは反時計回り、C'は時計回りに回転させるとき、

D={z0,z1,z2,z3,z4},zj=uj+vj=u0ω^j+v0ω^-j,ω=exp(2πi/5)=cos(2π/5)+isin(2π/5)

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【１】ファンデルモンド行列

ωj=exp(2πij/k),ω=exp(2πi/k) とするとき、 ファンデルモンド行列は

Ωk=|1,1,・・・,1|

|ω0,ω1,・・・,ωk-1|

|ω0^2,ω1^2,・・・,ωk-1^2|=|ω^ij|

|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・|　　

|ω0^k-1,ω1^k-1,・・・,ωk-1^k-1|

Ωkは対称行列で、その転置行列と一致する。

Ω2=|1,1|

|1,-1|

Ω3=|1,1,1|

|1,ω,ω^2|

|1,ω^2,ω|

Ω4=|1,1,1,1|

|1,i,-1,-i|

|1,-1,1,-1|

|1,-i,-1,i|

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【２】直交性

複素共役行列Ωk~

Ωk・(Ωk~)'=kI

|detΩk|=k^(k/2)

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【３】有限フーリエ級数

{z0,z1,z2,z3,z4}を前もって与えておいて、 {ζ0,ζ1,ζ2,ζ3,ζ4}を

zj=ζ0+ζ1ωj+ζ2ωj^2+ζ3ωj^3+ζ4ωj^4

から定める。

直交性から

ζj=1/4{z0+z1ωj~+z2ωj~^2+z3ωj~^3+z4ωj~^4}

{z0,z1,z2,z3,z4}=Ω4 {ζ0,ζ1,ζ2,ζ3,ζ4}

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