ｎ＝１１の場合もｙ＝ｘ＋１／ｘとおくと，５次方程式

　　ｙ^5＋ｙ^4−４ｙ^3−３ｙ^2＋３ｙ＋１＝０

に帰着する．ここではｎ＝１１のとき（平方根でなく）ベキ根の組み合わせ根を用いて表現できることを確かめたい．特殊な方程式であることを積極的に活用するのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　τν＝１／５・Σα^(j-1)νρj

　　ρk＝１／５・Σα^(1-k)ντν

とおき，集合｛τ1^5，τ2^5，τ3^5，τ4^5｝を考える．

　　ρj＝２ｃｏｓ（２^j-1・２π／１１）＝ｅ（２^j-1／１１）＋ｅ（−２^j-1／１１）

とし，次の関係式に注意する．

　　ρj^2＝ρj+1＋２，ｊｍｏｄ５

　　ρ1ρ2＝ρ1＋ρ4，ρ1ρ3＝ρ4＋ρ5，ρ1ρ4＝ρ2＋ρ3

　　ρ1ρ5＝ρ3＋ρ5，ρ2ρ3＝ρ3＋ρ5，ρ2ρ4＝ρ1＋ρ5

　　ρ2ρ5＝ρ3＋ρ4，ρ3ρ4＝ρ1＋ρ3，ρ3ρ5＝ρ1＋ρ2

　　ρ4ρ5＝ρ2＋ρ4

これより，

　　τν^5＝ΣＭνk（α）ρk

　また，巡回置換σ：ρj→ρj+1，ｊｍｏｄ５ρとこれらの関係式は交換可能．したがって，

　（ρ1ρ2）^σ＝ρ1^σ＋ρ4^σ＝ρ2＋ρ3＝ρ2ρ3＝ρ1^σρ2^σ

とくに，

　（τν^5）^σ＝（τν^σ）^5＝（α^-στν）^5＝τν^5

これより

　　τν^5＝１／５・Σ（τν^5）^σ^e＝１／５・ΣΣＭνk（α）ρk+e

＝−１／５・ΣＭνk（α）

　　ρk＝１／５・Σα^(1-k)ντν

であるから，ｃｏｓ（２π／１１）はＱ［ｅ（１／５）］の元の５乗根をもって表現される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

a=z+z^10=z+1/z

b=z^2+z^9

c=z^3+z^8

d=z^4+z^7

e=z^5+z^6とおく。

これはファンデルモンドの考えた方法である。

x^5=1の複素数根をw,w^2,w^3,w^4としてw^5=1,1+w+w^2+w^3+w^4=0

α=a+bw+cw^2+dw^3+ew^4

β=a+bw^2+cw+dw^4+ew^3

γ=a+bw^3+cw^4+dw+ew^2

δ=a+bw^4+cw^2+dw^3+ew

とおくと

a=(α+β+γ+δ-1)/5

b=(αw^4+βw^3+γw^2+δw-1)/5

c=(αw^2+βw^4+γw+δw^3-1)/5

d=(αw^3+βw+γw^4+δw^2-1)/5

e=(αw+βw^2+γw^3+δw^4-1)/5

α^5=-194-128w+257w^2-18w^3+92w^4

β^5=-194-128w^2+257w^4-18w+92w^3

γ^5=-194-128w^3+257w-18w^4+92w^2

δ^5=-194-128w^4+257w^3-18w^2+92w

w={-1+√5+i(10+2√5)^1/2}/4

w^2={-1-√5+i(10-2√5)^1/2}/4

w^3={-1-√5-i(10-2√5)^1/2}/4

w^4={-1+√5-i(10+2√5)^1/2}/4

より

α=[-11/4{89+25√5+i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

β=[-11/4{89-25√5+i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

γ=[-11/4{89-25√5-i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

δ=[-11/4{89+25√5-i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

a=(α+β+γ+δ-1)/5に代入すればa=z+1/z=2cos(2π/11)がわかるはずであるが、実際はもっと複雑な式になるという

cos(2π/11)=-1/10+w/10(α)+w/10(β)+w^4/10(γ)+w^4/10(δ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

cos(4π/11)=-1/10+1/10(α)+w^4/10(β)+w/10(γ)+1/10(δ)

cos(6π/11)=-1/10+w^3/10(α)+1/10(β)+1/10(γ)+w^2/10(δ)

cos(8π/11)=-1/10+w^4/10(α)+w^2/10(β)+w^3/10(γ)+w/10(δ)

cos(10π/11)=-1/10+w^2/10(α)+w^3/10(β)+w^2/10(γ)+w^3/10(δ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ファンデルモンドの方法は、有限フーリエ級数を用いるもので、３次方程式の解法に対するカルダノの方法でも同じ方法が使える.

お化け煙突やお化けペンタグラムの設計にも使えるのではないかと思う

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝