簡単な例として

5(10+2√5)^1/2+4(10−2√5)^1/2=(5-2√5)^1/2+9(5+2√5)^1/2

を取り上げる

辺々２乗すれば左辺＝右辺となる。

25(10+2√5)+16(10-2√5)+40(10+2√5)^1/2(10−2√5)^1/2=(5-2√5)+81(5+2√5)+18(5-2√5)^1/2(5+2√5)^1/2

410+18√5+40(100-20)^1/2=410+160√5+18(25-20)^1/2

410+18√5+160√5=410+160√5+18√5・・・一致

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ほかにも

4(10+2√5)^1/2-5(10−2√5)^1/2=9(5-2√5)^1/2-(5+2√5)^1/2

16(10+2√5)+25(10−2√5)-40(100-20)^1/2=81(5-2√5)+(5+2√5)-18(25-20)^1/2

410-18√5-160√5=410-160√5-18√5・・・一致

5(10+2√5)^1/2-4(10−2√5)^1/2=9(5-2√5)^1/2+(5+2√5)^1/2

25(10+2√5)+16(10−2√5)-40(100-20)^1/2=81(5-2√5)+(5+2√5)+18(25-20)^1/2

410+18√5-160√5=410-160√5+18√5・・・一致

4(10+2√5)^1/2+5(10−2√5)^1/2=-(5-2√5)^1/2+9(5+2√5)^1/2

16(10+2√5)+25(10−2√5)+40(100-20)^1/2=(5-2√5)+81(5+2√5)-18(25-20)^1/2

410-18√5+160√5=410+160√5-18√5・・・一致

が成り立つ

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(180-45√5)^1/2+(86−38√5)^1/2=(56＋19√5)^1/2

も辺々２乗すると

180-45√5+86−38√5+2(180-45√5)^1/2(86−38√5)^1/2=56＋19√5

210-102√5＝-2(180-45√5)^1/2(86−38√5)^1/2

105-51√5＝-(180-45√5)^1/2(86−38√5)^1/2

11025+13005-10710√5＝(180-45√5)(86−38√5)＝15480+8550-(6840+3870)√5

24030-10710√5=24030-10710√5

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