ｎ＝１１の場合もｙ＝ｘ＋１／ｘとおくと，５次方程式

　　ｙ^5＋ｙ^4−４ｙ^3−３ｙ^2＋３ｙ＋１＝０

に帰着する．ここではｎ＝１１のとき（平方根でなく）ベキ根の組み合わせ根を用いて表現できることを確かめたい．特殊な方程式であることを積極的に活用するのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　τν＝１／５・Σα^(j-1)νρj

　　ρk＝１／５・Σα^(1-k)ντν

とおき，集合｛τ1^5，τ2^5，τ3^5，τ4^5｝を考える．

　　ρj＝２ｃｏｓ（２^j-1・２π／１１）＝ｅ（２^j-1／１１）＋ｅ（−２^j-1／１１）

とし，次の関係式に注意する．

　　ρj^2＝ρj+1＋２，ｊｍｏｄ５

　　ρ1ρ2＝ρ1＋ρ4，ρ1ρ3＝ρ4＋ρ5，ρ1ρ4＝ρ2＋ρ3

　　ρ1ρ5＝ρ3＋ρ5，ρ2ρ3＝ρ3＋ρ5，ρ2ρ4＝ρ1＋ρ5

　　ρ2ρ5＝ρ3＋ρ4，ρ3ρ4＝ρ1＋ρ3，ρ3ρ5＝ρ1＋ρ2

　　ρ4ρ5＝ρ2＋ρ4

これより，

　　τν^5＝ΣＭνk（α）ρk

　また，巡回置換σ：ρj→ρj+1，ｊｍｏｄ５ρとこれらの関係式は交換可能．したがって，

　（ρ1ρ2）^σ＝ρ1^σ＋ρ4^σ＝ρ2＋ρ3＝ρ2ρ3＝ρ1^σρ2^σ

とくに，

　（τν^5）^σ＝（τν^σ）^5＝（α^-στν）^5＝τν^5

これより

　　τν^5＝１／５・Σ（τν^5）^σ^e＝１／５・ΣΣＭνk（α）ρk+e

＝−１／５・ΣＭνk（α）

　　ρk＝１／５・Σα^(1-k)ντν

であるから，ｃｏｓ（２π／１１）はＱ［ｅ（１／５）］の元の５乗根をもって表現される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

a=z+z^10=z+1/z

b=z^2+z^9

c=z^3+z^8

d=z^4+z^7

e=z^5+z^6とおく。

これはファンデルモンドの考えた方法である。

x^5=1の複素数根をw,w^2,w^3,w^4としてw^5=1,1+w+w^2+w^3+w^4=0

α=a+bw+cw^2+dw^3+ew^4

β=a+bw^2+cw+dw^4+ew^3

γ=a+bw^3+cw^4+dw+ew^2

δ=a+bw^4+cw^2+dw^3+ew

とおくと

a=(α+β+γ+δ-1)/5

b=(αw^4+βw^3+γw^2+δw-1)/5

c=(αw^2+βw^4+γw+δw^3-1)/5

d=(αw^3+βw+γw^4+δw^2-1)/5

e=(αw+βw^2+γw^3+δw^4-1)/5

α^5=-194-128w+257w^2-18w^3+92w^4

β^5=-194-128w^2+257w^4-18w+92w^3

γ^5=-194-128w^3+257w-18w^4+92w^2

δ^5=-194-128w^4+257w^3-18w^2+92w

w={-1+√5+i(10+2√5)^1/2}/4

w^2={-1-√5+i(10-2√5)^1/2}/4

w^3={-1-√5-i(10-2√5)^1/2}/4

w^4={-1+√5-i(10+2√5)^1/2}/4

より

α=[-11/4{89+25√5+i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

β=[-11/4{89-25√5+i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

γ=[-11/4{89-25√5-i(45(5+2√5)^1/2+5(5-2√5)^1/2}]^1/5

δ=[-11/4{89+25√5-i(45(5-2√5)^1/2-5(5+2√5)^1/2}]^1/5

a=(α+β+γ+δ-1)/5に代入すればa=z+1/z=2cos(2π/11)がわかるはずであるが、実際はもっと複雑な式になるという

cos(2π/11)=-1/10+w/10(α)+w/10(β)+w^4/10(γ)+w^4/10(δ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

cos(4π/11)=-1/10+1/10(α)+w^4/10(β)+w/10(γ)+1/10(δ)

cos(6π/11)=-1/10+w^3/10(α)+1/10(β)+1/10(γ)+w^2/10(δ)

cos(8π/11)=-1/10+w^4/10(α)+w^2/10(β)+w^3/10(γ)+w/10(δ)

cos(10π/11)=-1/10+w^2/10(α)+w^3/10(β)+w^2/10(γ)+w^3/10(δ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝