ｎ＝１１の場合もｙ＝ｘ＋１／ｘとおくと，５次方程式

　　ｙ^5＋ｙ^4−４ｙ^3−３ｙ^2＋３ｙ＋１＝０

に帰着する．ここではｎ＝１１のとき（平方根でなく）ベキ根の組み合わせ根を用いて表現できることを確かめたい．特殊な方程式であることを積極的に活用するのである．

ρ1+ρ2+・・・＋ρ5=-1

ρ1ρ2+ρ2ρ3+・・・+ρ4ρ5=-4

ρ1ρ2ρ3+ρ2ρ3ρ4+・・・+ρ3ρ4ρ5=3

ρ1ρ2ρ3ρ4+・・・+ρ2ρ3ρ4ρ5=3

ρ1ρ2ρ3ρ4ρ5=-1

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　　τν＝１／５・Σα^(j-1)νρj=1/5{ρ1+a^vρ2+a^2vρ3+a^3ρ4+a^4vρ5}

　　ρk＝１／５・Σα^(1-k)ντν=1/5{τ1+a^vτ2+a^2vτ3+a^3τ4+a^4vτ5}

とおき，集合｛τ1^5，τ2^5，τ3^5，τ4^5｝を考える．

　　ρj＝２ｃｏｓ（２^j-1・２π／１１）＝ｅ（２^j-1／１１）＋ｅ（−２^j-1／１１）

ρ1＝２ｃｏｓ（２π／１１）

ρ2＝２ｃｏｓ（４π／１１）

ρ3＝２ｃｏｓ（６π／１１）

ρ4＝２ｃｏｓ（８π／１１）

ρ5＝２ｃｏｓ（１０π／１１）

とし，次の関係式に注意する．

　　ρj^2＝ρj+1＋２，ｊｍｏｄ５

cos(4π/11)=2{cos(2π/11)}^2-1

cos(4π/11)+1=2{cos(2π/11)}^2

2cos(4π/11)+2={2cos(2π/11)}^2

　　ρ1^2＝ρ2＋２，ｊｍｏｄ５

　　ρ1ρ2＝ρ1＋ρ4，ρ1ρ3＝ρ4＋ρ5，ρ1ρ4＝ρ2＋ρ3

cos(2π/11)cos(4π/11)=1/2{cos(6π/11)+cos(2π/11)}

2cos(2π/11)・2cos(4π/11)={2cos(6π/11)+2cos(2π/11)}

　　ρ1ρ5＝ρ3＋ρ5，ρ2ρ3＝ρ3＋ρ5，ρ2ρ4＝ρ1＋ρ5

　　ρ2ρ5＝ρ3＋ρ4，ρ3ρ4＝ρ1＋ρ3，ρ3ρ5＝ρ1＋ρ2

　　ρ4ρ5＝ρ2＋ρ4

これより，

　　τν^5＝ΣＭνk（α）ρk

　また，巡回置換σ：ρj→ρj+1，ｊｍｏｄ５ρとこれらの関係式は交換可能．したがって，

　（ρ1ρ2）^σ＝ρ1^σ＋ρ4^σ＝ρ2＋ρ3＝ρ2ρ3＝ρ1^σρ2^σ

とくに，

　（τν^5）^σ＝（τν^σ）^5＝（α^-στν）^5＝τν^5

これより

　　τν^5＝１／５・Σ（τν^5）^σ^e＝１／５・ΣΣＭνk（α）ρk+e

＝−１／５・ΣＭνk（α）

　　ρk＝１／５・Σα^(1-k)ντν

であるから，ｃｏｓ（２π／１１）はＱ［ｅ（１／５）］の元の５乗根をもって表現される．

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x=2π/11

cosx+cos2x+cos3x+cos4x+cos5x=cos3xsin(5x/2)/sin(x/2)

Σ(cosrx)^2=5/2+cos6xsin5x/2sinx

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sin(5x/2)/sin(x/2)=16(sin(x/2))^4-20(sin(x/2))^2+5

=16{(1-cosx)/2}^2-20{(1-cosx)/2}+5

=4{(1-cosx)}^2-10{(1-cosx)}+5

=4(1-2cosx+(cosx)^2}-10+10cosx+5=-1+2cosx+4(cosx)^2

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cos3x=4(cosx)^3-3cosx=cosx{(4cosx)^2-3}

cosx+cos2x+cos3x+cos4x+cos5x=cos3xsin(5x/2)/sin(x/2)=cosx{4(cosx)^2-3}{1+2cosx+4(cosx)^2}=-1/2

cosx{4(cosx)^2-3+8(cosx)^3-6cosx+16(cosx)^4-12(cosx)^2}=-1/2

5次方程式であることは変わらない

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単純に倍角公式を使った方が早かった。

16(cosx)^5+8(cosx)^4-16(cosx)^3-6(cosx)^2+3cosx=-1/2

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