３次方程式：ｘ^3＝ｐｘ＋ｑの解は

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２−√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

で与えられる．

(y^3-3y-1)=0,p=3,q=1,虚数を生じる

A=1/2+i(√3/2)=cos(π/3)+isin(π/3)

B=1/2-i(√3/2)=cos(-π/3)+isin(-π/3)

3√Ａ=cos(π/9)+isin(π/9)

3√Ｂ=cos(-π/9)+isin(-π/9)

x=2cos(π/9)・・・x=-2cos(8π/9)と一致

もし

B=1/2-i(√3/2)=cos(5π/3)+isin(5π/3)とおけば

3√Ｂ=cos(5π/9)+isin(5π/9)となって、ｘが虚数となってしまうのは、正11角形の場合と同じ

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　ｘ^3＝１５ｘ＋４の場合，

　　Ａ＝２＋√（２^2−５^3）＝２＋√（−１２１）＝２＋１１ｉ

　　Ｂ＝２−√（２^2−５^3）＝２−√（−１２１）＝２−１１ｉ

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ＝3√（２＋１１ｉ）−3√（２−１１ｉ）

となる．

　この方程式は明らかにｘ＝４を根にもっているのだが，どうなっているのだろうか？

　実は

　　（２＋１１ｉ）＝（２＋ｉ）^3，（２−１１ｉ）＝（２−ｉ）^3

より，

　　ｘ＝（２＋ｉ）＋（２−ｉ）＝４

となるのである．

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（ａ＋ｂｉ）^2＝（ａ^2−ｂ^2）＋２ａｂｉ

（ａ＋ｂｉ）^3

＝ａ^3＋３ａ^2ｂｉ−３ａｂ^2−ｂ^3ｉ

＝（ａ^3−３ａｂ^2）＋（３ａ^2ｂ−ｂ^3）ｉ

＝ａ（ａ^2−３ｂ^2）＋ｂ（３ａ^2−ｂ^2）ｉ

（２＋１１ｉ）→ａ（ａ^2−３ｂ^2）＝２，ｂ（３ａ^2−ｂ^2）＝１１

ａ＝±１とすると，（１−３ｂ^2）＝±２→ｂ＝１→ｂ（３−ｂ^2）＝１１　　（ＮＧ）

ａ＝±２とすると，（４−３ｂ^2）＝±１→ｂ＝±１のみを考える

→ｂ＝±１→ｂ（１２−ｂ^2）＝１１→ｂ＝１　　（ＯＫ）

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