フェルマーの小定理とよばれるものは，

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄｐ）

すなわち，ｐを素数とするとａをどんな数にとっても余りが１になるというものである．

　ａをランダムに選んでいって，それでも余りが１になればｐは素数の候補となるし，１以外の余りがひとつでも出ればｐは合成数であることになる．

　とくに

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄｐ）

の後者はｚ^n＝１という円分方程式（円周等分方程式）との関係も取りざたされるところである．そこで，・・・

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　ｎを奇素数とする，ｎで割り切れない任意の数ａに対し，

　　ａ，ａ^2，ａ^3，・・・，ａ^n-1　　（ｍｏｄｎ）

を作る．このとき，常に

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立するが，ａのベキの次数がｎ−１に到達する以前に，小さな次数ｋに対して　

　　ａ^k＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立することがある．

　逆に，ｎ−１で初めて

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が起こることもあり，そのような数ａを法ｎに関する原始根とよぶ．すなわち，原始根の周期はｎ−１といえるのである．

　例として，ｎ＝１９，ａ＝２の場合を調べてみると

　　２^1＝２，２^2＝４，２^3＝８，２^4＝１６，２^5＝１３，２^6＝７

　　２^7＝１４，２^8＝９，２^9＝１８，２^10＝１７，２^11＝１５，

　　２^12＝１１，２^13＝３，２^14＝６，２^15＝１２，２^16＝５，

　　２^17＝１０，２^18＝１

→２は法１９に関する原始根である．

　ｎ＝１９，ａ＝３の場合を調べてみると

　　３^1＝３，３^2＝９，３^3＝８，３^4＝５，３^5＝１５，３^6＝７

　　３^7＝２，３^8＝６，３^9＝１８，３^10＝１６，３^11＝１０，

　　３^12＝１１，３^13＝１４，３^14＝４，３^15＝１２，３^16＝１７

　　３^17＝１３，３^18＝１

→３は法１９に関する原始根である．

　ｎ＝１９，ａ＝４の場合を調べてみると

　　４^1＝４，４^2＝１６，４^3＝７，４^4＝９，４^5＝１７，４^6＝１１

　　４^7＝６，４^8＝５，４^9＝１

→４は法１９に関する原始根ではない．

　ｎ＝１９，ａ＝５の場合を調べてみると

　　５^1＝５，５^2＝６，５^3＝１１，５^4＝１７，５^5＝９，５^6＝７

　　５^7＝１６，５^8＝４，５^9＝１

→５は法１９に関する原始根ではない．

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　どのような奇素数ｎに対しても法ｎに関する原始根は存在する（ガウス）．さらに，ガウスは円分方程式：ｚ^19＝１の１の１９乗根

　　ｚ＝ｃｏｓ（２π／１９）＋ｉｓｉｎ（２π／１９）

の解法がｎ＝１９に対してｎ−１＝３・３・２と素因数分解されることから，次数１９の円分方程式が２つの３次方程式とひとつの２次方程式の解法に帰着することを示している．詳細は

　　［参］高瀬正仁「アーベル・不可能の証明へ」現代数学社

を参照されたい．

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z^18+z^17+・・・+z+1=0の18根の置換は

法19の原始根を2として、項の順番にしたがって、3群に分けると

　　２^1＝２，２^2＝４，２^3＝８，２^4＝１６，２^5＝１３，２^6＝７

　　２^7＝１４，２^8＝９，２^9＝１８，２^10＝１７，２^11＝１５，

　　２^12＝１１，２^13＝３，２^14＝６，２^15＝１２，２^16＝５，

　　２^17＝１０，２^18＝１

α2=z^2+z^16+z^14+z^17+z^3+z^5

α4=z^4+z^13+z^9+z^15+z^6+z^10

α1=z^8+z^7+z^18+z^11+z^12+z^1

この３つの値はx^3+x^2-6x-7=0の根となる。

α1+α2+α4=-1

α1α2+α2α4+α4α1=-6

α1α2α4=7

α2=4-α1^2

α4=-5-α1+α1^2

さらに

α1=(z+z^18)+(z^8+z^11)+(z^7+z^12)=β1+β8+β7

に分割され、β1、β8、β7はx^3-α1x^2+(α1+α4)x-2-α2=0の根となる。

さらに

zとz^18はx^2-β1x+1=0を満たす。

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z^10+z^9+・・・+z+1=0の10根の置換はｎ−１＝５・２と素因数分解されることから，次数１１の円分方程式が１つの5次方程式とひとつの２次方程式の解法に帰着することを示している．

そのような周期はz+z^10,z^2+z^9,z^3+z^8,z^4+z^7,z^5+z^6である。

一つの周期に含まれる２元は互いの他の逆数であるから、z^5で割ってから,y=-(x+1/x)を代入すると

y^5-y^4-4y^3+3y^2+3y-1=0

が得られる。もしこの方程式の解αが根号によって見いだされるならば、1の11乗根を求めるには、x^2+αx+1=0を解きさえすればよく、それは根号によってあらわされるのであるが、５次方程式には一般的な解法が存在しない。

それに対して、n-1が2のベキであるときには補助方程式はすべて２次であるから、円分方程式の解法はかなり簡単である。

n-1が2のベキとなる素数で知られているものは、3,5,17,257,65537だけである。

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y^5-y^4-4y^3+3y^2+3y-1=0

は根号を使って解ける方程式なのであるが、その解法がわからない

この方程式の解は2cos(2πk/11),k=1-5になるはずである。とりあえずy^4の項を消去してみたい。

y=z+1/5とおくと

z^5+5z^4・(1/5)+10z^3・(1/5)^2+10z^2・(1/5)^3+5z・(1/5)^4+(1/5)^5

-z^4　　　　-4z^3・(1/5)　　　-6z^2・(1/5)^2　-4z・(1/5)^3-(1/5)^4

　　　　-4z^3　　　　　　-12z^2・(1/5)　　-12z・(1/5)^2-4(1/5)^3

　　　　　　　　　　+3z^2　　　　　　+6z・(1/5)　+3・(1/5)^2

　　　　　　　　　　　　　　　　+3z　　　　　+3・(1/5)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -1

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3125z^5+3125z^4+1250z^3　+250z^2　　+25z　　　+1

　-3125z^4-2500z^3　　-750z^2　　-100z　　　-5

　　　　　-12500z^3　-7500z^2　　-1500z　-100

　　　　　　　　　+9375z^2　　+3750z　+375

　　　　　　　　　　　　　+9375z　+1875

　　　　　　　　　　　　　　　　　 -3125

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3125z^5-13750z^3　+1375z^2　　+11500z　　　-979

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