【１】ガウス整数

　ａ，ｂを整数として

　　ａ＋ｂｉ

｛ａ＋ｂｉ｜Ｚ｝

で表される複素数が「ガウスの整数」です．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」．

　また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，１の４乗根である

　　±１，±ｉ

の４個の単数があります．ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします． ガウス整数g=a+biに対し、ノルムN(g)=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)で定義され、N(g)N(h)=N(gh)という性質を持ちます。

　素数は複素数体でも定義されますが，ガウス素数とはそのノルムが通常の素数であるようなガウス整数のことです．数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．

17は4ｎ+1型素数ですがガウス整数としては

17=(4+i)(4-i)と分解されるから合成数です。一般に4ｎ+1型素数はc^2+d^2=(c+di)(c-di)と表せるので、ガウス素数ではありません。

　４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2

　　５＝（１＋２ｉ）（１−２ｉ）

　　２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）

　ガウス素数を列挙すると

　　１±ｉ，３，２±ｉ，７，１１，３±２ｉ，４±ｉ，１９，２３，５±２ｉ，３１，・・・

となりますが，

　　１±ｉ，２±ｉ，３±２ｉ，４±ｉ，５±２ｉ

はそれぞれ２，５，１３，１７，２９，・・・すなわち，２および４ｋ＋１型素数に対応するガウス素数ということになります．

　また，ａ＋ｂｉがガウス素数ならばその共役ａ−ｂｉやそれに単数±１，±ｉを掛けたｂ±ａｉなど計８通りもガウス素数ですが，単数の違いを除いて，その表し方は本質的に１通りというわけです．

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【２】ガウスの素因数分解

［１］たとえば，５＋ｉでは

　　（５＋ｉ）（５−ｉ）＝５^2＋１＝２６＝２・１３

　　　２→１±ｉ，１３→３±２ｉ

です．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応しますから，偏角を幾何学的に考慮することによって

　　５＋ｉ＝（１＋ｉ）（３−２ｉ）

と素因数分解することができます．

［２］７０＋ｉでは

　　（７０＋ｉ）（７０−ｉ）＝７０^2＋１＝４９０１＝１３^2・２９

　　　１３→３±２ｉ，２９→５±２ｉ

ですから

　　７０＋ｉ＝ｉ（３−２ｉ）^2（５−２ｉ）

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