ベルヌーイは多項式x^4-4x^3+2x^2+4x+4は実２次式の積に分解されないと主張したが、オイラーは

{x^2-(2+(4+2√7)^1/2x+(1+(4+2√7)^1/2+√7)}{x^2-(2+(4-2√7)^1/2x+(1-(4+2√7)^1/2+√7)}

であることを発見した。

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{x^2+αx+β}{x^2+γx+δ}とおくと

α+γ=-4

β+δ+αγ=2

αδ+βγ=4

βδ=4

を解くことになるが、難題となってしまう。そこで、3次の項を消去することを考える。

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x=y+1とおくと

x^4-4x^3+2x^2+4x+4=(y+1)^4-4(y+1)^3+2(y+1)^2+4(y+1)+4

=y^4-4y^2+7

うまい具合に3次の項のみならず、１次の項まで消去されてしまう。

この多項式が(y^2+uy+α)(y^2-uy+β)と分解されるとすると

(y^2+uy+α)(y^2-uy+β)=y^4+(α+β-u^2)y^2-u(α-β)y+αβ

α+β-u^2=-4

α-β=0

αβ=7

より

α=β=√7, u={4+2√7}

x=y-1に戻すと

(y^2+uy+α)(y^2-uy+β)=(x^2+(2+u)x+1+u+α)(x^2-(2+u)x+1-u+β)

={x^2-(2+(4+2√7)^1/2x+(1+(4+2√7)^1/2+√7)}{x^2-(2+(4-2√7)^1/2x+(1-(4+2√7)^1/2+√7)}

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上の例ではうまい具合に１次の項まで消去されて簡単になったが、y^4+By^2+Cy+D=0,C≠0だったらどうなるのだろうか？

α+β-u^2=B

-u(α-β)=C

αβ=D

より

α+β=B+u^2,α-β=-C/u

2α=u^2+B-C/u,2β=u^2+B+C/u,4αβ=4Dであるから

u^6+2Bu^4+(B^2-4D)u^2-C^2=0

uはすくなくとの２つの0と異なる実根をもつので、それからα、βが決定される

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