[Q]与えられた次数ｖの平面代数曲線を決定するのに何個の点が必要か？

[A]v(v+3)/2個

v=1の直線は２点によって決定される

v=2の2次曲線は5点によって決定される

v=3・・・14点

v=4・・・20点

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　２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます。ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合、その一般式は、

ａｘ2 ＋ｈｘｙ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０

のごとく、項数６の多項式として書くことができます。２次曲線には楕円、放物線、双曲線があり、それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線、すなわち円錐曲線です。

　一直線上にない３点を通る２次曲線、３点を通る３次曲線はただひとつ存在しますが、それは座標軸の方向が定まっている場合であって、一般には、平面上の任意の位置にある５点が唯一の円錐曲線を決定します。ニュートンは「プリンキピア」のなかで５点を通る円錐曲線の作図法などを案出しながら壮大な天体力学を展開しています。

　同様に、３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線です。３次曲線の例としては、ディオクレスのシッソイド（ｘ3 ＋ｘｙ2 ＝ｙ2 ）があげられますが、これは古代ギリシアにおいて立方体倍積問題に用いられた曲線です。また、

ｙ＝ｘ3 ＋ｘ2 ＋ｘ＋１

ｙ3 ＝ｘｙ2 −２ｘ2 ｙ＋ｙ−３

なども３次曲線で、一般式の項数は１０になります。

　４次曲線（項数１５）とか５次（項数２１）以上の高次曲線も考えることができますが、１９００年当時まで、５次曲線までと３次曲面までのトポロジカルな分類は既に知られていたようです。２次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０は楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面、楕円放物面、双曲放物面のどれかに分類されます。また、３次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０には無数に多くの直線がのっているか（その場合には線織面と呼ばれる）、そうでなければ、高々２７本の直線しか含まないことが証明されています（サルモン，１８８４年）。

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