Ｓ1＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ2＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ3＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

が多くの読者にとってお馴染みの公式であろう．さらに，

Ｓ4＝Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Ｓ5＝Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Ｓ6＝Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Ｓ7＝Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

Ｓ8＝Σｋ^8＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（５ｎ^6＋１５ｎ^5＋５ｎ^4−１５ｎ^3−ｎ^2＋９ｎ−３）／９０

と続く．

　Sk〜n^(k+1)/(k+1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

この近似式は

nΣ(1,n)i^(k-1)-Σ(1,n)i^k=Σ(p=1,n-1){Σ(1,p)i^(k-1)}

(n+1)Σ(1,n)i^k=Σ(1,n)i^(k+1)+Σ(p=1,n){Σ(1,p)i^(k)}

に基づいているが、4乗ベキに対しても

Σi^4=(n/5+1/5)n(n+1/2){(n+1)n-1/3}

へと翻訳できるものである

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Ｓ3＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

1^3+2^3+3^3+4^3+・・・=1/4・n^4+a・n^3+b・n^2+c・n

1=1/4+a+b+c

9=4+8a+4b+2c

36=81/4+27a+9b+3

a=1/2,b=1/4,c=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝