フィボナッチは、連立ディオファントス方程式

x^2+5=y^2

x^2-5=z^2

に取り組んだ。

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10=y^2-z^2=(y+z)(y-z)=d(y-z),y-z=10/d

y=1/2(d+10/d)

x^2=y^2-5={1/2(d+10/d)}^2-5={d^2+20+100/d^2}/4-5=(100+d^4)/4d^2

したがって、100+d^4が平方数ならばこれも平方数となる。100を消去するため

100+d^4=(md^2-100)^2とおくと

20md2=m^2d^4-d^2

d^2=20m/(m^2-1)

これが平方数になるようにｍを試行錯誤で選ぶと,m=9→d=3/2→10＝3/2・20/3→y=49/12,z=31/12,x=41/12

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