フィボナッチは、連立ディオファントス方程式

x^2+5=y^2

x^2-5=z^2

に取り組んだ。

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Ｓ1＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ2＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ3＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

と並んでピタゴラス派に知られていた

1+3+5+・・・+(2n-1)=n^2

から

5^2=1+3+5+7+9=(1+3+5+7)+9=4^2+3^2

すなわち、グノモンからピタゴラスの三つ組みが得られる。

フィボナッチはこのことやこの過程で証明したその他の事実を利用して

x^2+n=y^2

x^2-n=z^2の解は

a+bが偶数ならばn=d^2ab(a+b)(a-b)

a+bが奇数ならばn=4d^2ab(a+b)(a-b)

の形になるという一般的な結果を証明したとされる。

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