ブラーマグプタの銘言に「数学者とは

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝１

を１年以内に解ける人のことである」とあるそうです．

　［参］小野田博一「数学難問Best100」ＰＨＰ

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【１】ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

　そして，ブラーマグプタはこの恒等式を使って

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝１

を解いたそうです（６２８年）．

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　たとえば，ｘ＝１０，ｙ＝１のとき

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝８

比較的小さい値なので，これを使うことにする．

［１］ブラーマグプタの恒等式に

　　Ｎ＝９２，ｘ1＝ｘ2＝１０，ｙ1＝ｙ2＝１

を代入すると

　　８^2＝１９２^2−１９２・２０^2

　　１＝２４^2−９２・（５／２）^2

［２］ブラーマグプタの恒等式に

　　Ｎ＝９２，ｘ1＝ｘ2＝２４，ｙ1＝ｙ2＝５／２

を代入すると

　　１＝１１５１^2−９２・１２０^2

　したがって，（ｘ，ｙ）＝（１１５１，１２０）はペル方程式の整数解となる．

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　　６７ｘ^2+１＝ｙ^2

[1]任意に平方数、たとえば1^2=1をとり67・1^2+bがは平方数となるようなbを目の子で見つける。67・1^2-3=8^2

[2]b=-3とすれば67・1^2-3=64=8^2,u=1,v=8

[3]um+v=bn,この例ではm+8=-3n,m^2がなるべくDに近くなるようにmをとる。m=7とする。

[4]b1=(D-m^2)/b=(67-49)/(-3)=6,u1=|(um+v)/b|=|(1・7+8)/(-3))|=|-5|=5,v1=(Du1^2+b1)^1/2=(67・25-6)^1/2=41

[5]67・5^2+6=41^2に対して、この手順を繰り返す。u=5,v=41,b=6

[6]5m+41=6n,|m^2-67|が小さいｍ→m=5

[7]b1=(D-m^2)/b=(67-25)/(6)=-7,u1=|(um+v)/b|=|(5・5+41)/(6))|=11,v1=(Du1^2+b1)^1/2=(67・121-7)^1/2=90 67・11^2-7=90^2^

[8]11m+90=-7n,|m^2-67|が小さいｍ→m=9

[9]b1=(D-m^2)/b=(67-81)/(-7)=-2,u1=|(um+v)/b|=|(11・9+90)/(-7))|=27,v1=(Du1^2+b1)^1/2=(67・121-2)^1/2=221

[10]67・27^2-2=221^2

Du0^2+c0=v0^2

Du1^2+c1=v1^2のとき

D(u0v1+u1v0)^2+c0c1=(Du0u1+v0v1)^2が成り立つ

67(27・221+27・221)+4=(67・27・27+221・221)^2

67(11936)^2+4=(97684)^2

67(5968)^2+1=(48842)^2・・・x=5967,y=48842

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