オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

を

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となります．いずれにせよ，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れません．

　このことから，ｆ3，ｆ4，ｆ5の少なくとも１つは０でない→多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならない，同様に，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならない→すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出されます．これもオイラーが知っていた結果であるということです．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）

これらの結果は極めて重要で，四色定理の証明の中核をなしています．

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多面体の面がすべてｆ3であるならば、f3≧4ですが、ここではすベての頂点の価数が6であるようにできるか考えてみます。

三角形の数がｎのとき、価数は6なので、頂点数は3n/6、辺数は3ｎ/2になります。

するとv-e+f=3n/6-3n/2+n=0になってしまうので、オイラーの多面体定理に反してしまいます。

多面体の面がすべてｆ4であるならば、f4≧6となりますが、ここでは、すベての頂点の価数が4であるようにできるか考えてみます。

四角形の数がｎのとき、価数は4なので、頂点数は4n/4、辺数は4ｎ/2になります。

するとv-e+f=ｎ-2ｎ+n=0になってしまうので、オイラーの多面体定理に反してしまいます。

いずれの場合も、ドーナツのように穴が一つの場合はv-e+f=0が成り立つので、ドーナツ面であれば可能です。

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