ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．それでは，どんな自然数でも

　　Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2

で書けるだろうか？

　すべての整数はＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形に表せるが，それは５４通りの組み合わせしかないことが知られている（ラマヌジャン）．

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【１】ラマヌジャンのリスト（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）

　（１，１，１，１），（１，１，１，２），（１，１，１，３）

　（１，１，１，４），（１，１，１，５），（１，１，１，６）

　（１，１，１，７），（１，１，２，２），（１，１，２，３）

　（１，１，２，４），（１，１，２，５），（１，１，２，６）

　（１，１，２，７），（１，１，２，８），（１，１，２，９）

　（１，１，２，１０），（１，１，２，１１），（１，１，２，１２）

　（１，１，２，１３），（１，１，２，１４），（１，１，３，３）

　（１，１，３，４），（１，１，３，５），（１，１，３，６）

　（１，２，２，２），（１，２，２，３），（１，２，２，４）

　（１，２，２，５），（１，２，２，６），（１，２，２，７）

　（１，２，３，３），（１，２，３，４），（１，２，３，５）

　（１，２，３，６），（１，２，３，７），（１，２，３，８）

　（１，２，３，９），（１，２，３，１０），（１，２，４，４）

　（１，２，４，５），（１，２，４，６），（１，２，４，７）

　（１，２，４，８），（１，２，４，９），（１，１，４，９）

　（１，２，４，１０），（１，２，４，１１），（１，２，４，１２）

　（１，２，４，１３），（１，２，４，１４），（１，２，５，６）

　（１，２，５，７），（１，２，５，８），（１，２，５，９）

　（１，２，５，１０）

　どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

で書けるのである．

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mod8で考えているためかもしれないが、このリストには異なる組み合わせが存在しているのではないかと思われる。

x^2,y^2,z^2,w^2=0,1,4,1,0,1,0,1 (mod8)

ｍ＝2→0,2,0,2,0,2,0,2

ｍ＝3→0,3,4,3,0,3,0,3

ｍ＝4→0,4,0,4,0,4,0,4

ｍ＝5→0,5,4,5,0,5,0,5

ｍ＝6→0,6,0,6,0,6,0,6

ｍ＝7→0,7,4,7,0,7,0,7

ｍ＝8→0,0,0,0,0,0,0,0

ｍ＝9→0,1,4,1,0,1,0,1 ・・・元に戻る

ｍ＝10→0,2,0,2,0,2,0,2

ｍ＝11→0,3,4,3,0,3,0,3

ｍ＝12→0,4,0,4,0,4,0,4

ｍ＝13→0,5,4,5,0,5,0,5

ｍ＝14→0,6,0,6,0,6,0,6

ｍ＝15→0,7,4,7,0,7,0,7

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