【２】ラグランジュの定理とラマヌジャンのリストの間に

　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

から

　 Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2，　　Ａ≦Ｂ≦Ｃ≦Ｄ

までの間を検討したいのであるが，容易にわかるようにＡ＝１でなければならない．

　そこで，Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝１から始めたい．

　答えはＤ＝１，２，３，４，５，６，７になるのであるが，その定理がルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができる」である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（証明）ある数を表現しないと仮定すると，３平方和定理によりそのなかで最小の数は８ｋ＋７の形でなければなりません．そのような数から，

　　ｍｗ^2　　（ｗ＝１，１，２，１，１，１，２）

を引くと，それぞれ８ｋ＋６，８ｋ＋５，８ｋ＋３，８ｋ＋３，８ｋ＋２，８ｋ＋１，８ｋ＋３の形の数となり，これらはすべてｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に表現されます．

x^2+y^2+z^2+mw^2=8k+7+mw^2

として

ｍ＝1,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+6

ｍ＝2,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+5

ｍ＝3,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+4→ｍ＝3,t=2→x^2+y^2+z^2=8k+3

ｍ＝4,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+3

ｍ＝5,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+2

ｍ＝6,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+1

ｍ＝7,w=1→x^2+y^2+z^2=8k→ｍ＝7,t=2→x^2+y^2+z^2=8k+3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x^2+y^2+2z^2+mw^2=8k+7+mw^2としてこれを続けるのだろうか？

ｍ＝1,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+6

ｍ＝2,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+5

ｍ＝3,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+4→ｍ＝3,t=2→x^2+y^2+z^2=8k+3

ｍ＝4,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+3

ｍ＝5,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+2

ｍ＝6,w=1→x^2+y^2+z^2=8k+1

ｍ＝7,w=1→x^2+y^2+z^2=8k→ｍ＝7,t=2→x^2+y^2+z^2=8k+3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝