［補］互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．さらにまた，別の例を挙げてみましょう．

［補］４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならない．

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

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［補］ｐ進数体Ｑp

　ところで，「互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．」はｘ^2＋ｙ^2＝３が３進数体Ｑ3上で解をもたないことを証明したことにほかなりません．

　素数ｐをあらかじめ決めておいて，ａを素因数分解します．ｐのベキ乗部分を分離して，

　ａ＝ｐ^n・ｂ／ｃ

とするとき，

　　｜ａ｜p＝ｐ^(-n)

という式によって，ａの新しい絶対値を決めます．例えば，ｐ＝３としておくと

　　｜１８｜3＝｜２・３^2｜3＝３^(-2)，｜１９｜3＝１，

　　｜１３／１８｜3＝｜３^(-2)・１３／２｜3＝３^2

などとなります．

　以上で定義した素数ｐごとに定まる絶対値をｐ進付値といいます．ｐ進付値は普通と違って，ｐ^nはｎが大きくなるとゼロに近づきます．すなわち，ｐ

進数的に小さいとは，それが高いベキで割り切れるということです．

　ｐ進数は１９世紀にヘンゼルによって導入された非アルキメデス的数体系で，有理数体Ｑを｜｜pで完備化して得られます．ｐ進数の集合は

　　Ｑp＝｛ａ-nｐ^(-n)＋・・・＋ａ0＋ａ1ｐ＋ａ2ｐ^2＋・・・＋ａnｐ^n｝

　　　　　　０≦ａi≦ｐ−１

と書けるのですが，これらの数の中で四則演算ができますから，体をなすというわけです．

［補］ハッセの原理（局所−大域原理）

　有理数について成り立つことと，実数およびｐ進数について成り立つことが同値の場合，ハッセの原理が成り立つといいます．ハッセ原理（局所−大域原理）とは，すなわち，局所（ｐ進数）を全部集めれば全体（有理数）のことがわかるという原理です．

　２次曲線（種数０）に関してはハッセの原理が成り立ちますから，次の２つの主張は同値です．

　　(1)ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たす有理数の組（ｘ，ｙ）が存在する．

　　(2)ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たす実数の組（ｘ，ｙ）が存在し，各素数についても，ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たすｐ進数の組（ｘ，ｙ）が存在する．

例：２ｘ^2＋３ｙ^3＝１を満たすような有理数の組は存在するか？

　実数は存在します．たとえば，（ｘ，ｙ）＝（０，１／√３）．しかし，このような３進数（ｘ，ｙ）は存在しません．２ｎ^2−１が３で割れるような整数が存在しないからです．したがって，有理数は３進数の１部でもありますから，このような有理数の組も存在しないということになります．

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