Δ(x)=xΠ(1-x^i)^24=Στ(n)x^n

はラマヌジャン以来、多くの研究がなされ例えば、乗法的性質(n,m)=1ならτ(nm)=τ(n)τ(m)など多くの性質がわかっている。

また、mod7,mod23,mod691との大変良い関係があることもわかっている。

n=7m+k(k=0,3,5,6)のとき、τ(n)=0 (mod7)

kが23の平方非剰余のとき、τ(23n+k)=0 (mod23)

τ(n)=σ11(n) (mod691)

σ11(n)はｎの約数の11乗和

ラマヌジャンは|τ(p)|≦2p^11/2であると予想したが、これがただしいことは1973年、ドリーニュによって証明された。

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ところで、24のどの約数{di}={2,3,4,6,8,12,24}も次の性質を持つ。

xy=1 (mod di)ならx=y (mod di)

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x=1,y=37としてみよう

d=2のとき、xy=1,x=y=1

d=3のとき、xy=1,x=y=1

d=4のとき、xy=1,x=y=1

d=6のとき、xy=1,x=y=1

d=12のとき、xy=1,x=y=1

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x=1,y=49としてみよう

d=2のとき、xy=1,x=y=1

d=3のとき、xy=1,x=y=1

d=4のとき、xy=1,x=y=1

d=6のとき、xy=1,x=y=1

d=8のとき、xy=1,x=y=1

d=12のとき、xy=1,x=y=1

d=24のとき、xy=1,x=y=1

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