1辺1の立方体内に勝手に２点を選んだとき、その距離の平均値は，

(4+17√2-6√3+21log(1+√2)+42log(2+√3)-7π)/105=0.661717・・・

になるという。

それでは立方体内の有限個の点の集団がどのくらい一様分布に近いとみなせるだろうか？

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以下の性質[1][2][3]を持つようなF(x)を構成できれば、シュワルツの不等式から

D(x)=Z(x)-Nx1x2

∫(0,1)∫(0,1)D(x)^2dx1dx2＞clogN

が従う。

[1]∫(0,1)∫(0,1)F(x)^2dx＜＜logN

[2]∫(0,1)∫(0,1)Z(x)F(x)dx=0

[3]∫(0,1)∫(0,1)Nx1x2F(x)dx＞＞logN

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