√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

　　√３＝［１：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］

　　√７＝［２：１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

は有界な部分商をもつ連分数展開ですが、たとえば3√２の連分数展開を求めると，

　　3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］

の一般項は求めることができません．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのです．

一方、超越数ｅの連分数展開は，

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．すなわち，有界な部分商をもつ連分数展開ではありません。

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√λが部分商有界な連分数展開をもつとき、十分小さいεに対して

|√λ-p/q|＜ε/q^2

は自然数解p,qを持たないことが知られている。

したがって、任意のp,qに対し

|p^2-√λq^2|=|p-√λq||p+√λq|≧ε/q|p+√λq|≧ε√λ

となる

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たとえば、λ=(1+√3)^2=4+2√3のとき、

√λ＝１＋√３＝［２：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］部分商有界な連分数展開をもつので

|√λ-p/q|＜ε/q^2

は自然数解p,qを持たない

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一方、「ディリクレの定理」すなわち，近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならばαは無理数である（右辺はこの定数倍でもよい）．これは無理数が無限に多くの既約分数解｛ａn／ｂn｝をもつことを示している．

　それでは

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^k

が無限に多くの解をもつことができるような最大の実数ｋはいくつになるのだろうか？　ｋ=2(ロスの定理)

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