【１】シュワルツの代数関数解

　代数関数解とは２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される関数のことをいいます．

　シュワルツは，微分方程式が導く保型関数から，

(1)円弧三角形を複素上半平面Ｈに写像する際の写像関数は，微分方程式の２つの解の比ｙ1／ｙ2で表されること．

(2)すべての解が代数関数←→写像関数が代数関数（α，β，γは有理数）

(3)円弧三角形の頂角λπ，μπ，νπは特性指数の差である．

(4)円弧三角形は，λ＋μ＋ν＞１になること．

を利用して，解がすべて代数関数となる条件を示しました．

　それは１５通りの場合からなっているのですが，リーマン指標（λ，μ，ν）を用いて，整数部分を除いて小数点以下の端数部分を記すと，以下のように表されます．ただし，λ，μ，νの順序を変えることによる重複は避けています．

　　正２面体群：（１／２，１／２，ν）

　　正４面体群：（１／２，１／３，１／３）

　　正４面体群：（２／３，１／３，１／３）　　（整数部分の和＝偶数）

　　正８面体群：（１／２，１／３，１／４）

　　正８面体群：（２／３，１／４，１／４）　　（整数部分の和＝偶数）

　　正20面体群：（１／２，１／３，１／５）

　　正20面体群：（２／５，１／３，１／３）　　（整数部分の和＝偶数）

　　正20面体群：（２／３，１／５，１／５）　　（整数部分の和＝偶数）

　　正20面体群：（１／２，２／５，１／５）

　　正20面体群：（３／５，１／３，１／５）　　（整数部分の和＝偶数）

　　正20面体群：（２／５，２／５，２／５）　　（整数部分の和＝偶数）

　　正20面体群：（２／３，１／３，１／５）　　（整数部分の和＝偶数）

　　正20面体群：（４／５，１／５，１／５）　　（整数部分の和＝偶数）

　　正20面体群：（１／２，２／５，１／３）

　　正20面体群：（３／５，２／５，１／３）　　（整数部分の和＝偶数）

　このように，シュワルツの表では分母が２，３，４，５の有理数になります．１／２が含まれるものについては，整数部分の和＝偶数という条件は不要となります．そしてλ＋μ＋ν≦１であるか，λ＋μ＋ν＞１であってもシュワルツの表を満たさない場合は解が超越関数となるのです．

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