楕円曲線が与えられたとき、そのランクはどうすれば決定できるのか？は超難問でしたが、それに対してはＢＳＤ予想がたてられています。

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これを述べるためには、まず楕円曲線

E: y^2=x^3+ax+b

に付随するL関数を導入する必要がある。

Np=#{(x,y)|y^2=x^3+ax+b (mod p)},ap=p-Np

EのL関数は有限個の積因子のあいまいさを無視して、オイラー積

L(E,s)〜Π(1-app^-s+p^1-2s)^-1

により定義される。

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【１】ＢＳＤ予想

L(E,s)のs=1における位数はちょうどランクｇに等しい。Eが有理点を無限個もつこととL(E,1)=0は同値である。

この予想に関してはオイラー積がs=1において収束しないという問題があるが、L関数は全複素平面上に解析接続されると予想され、さらに保型性も予想されている

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【２】谷山・志村・ヴェイユ予想

重さ２の正則保型形式fが存在して、L(E,s)=L(f,s)が成り立つ。

この予想を認めればL(E,s)の解析接続と関数等式が導かれる。すなわち、L関数のディリクレ級数による表示

L(E,s)=Σan/n^sを用いてf=Σanq^n,q=exp(2πiz)を導入すると、f(az+b/cz+d)=(cz+d)^kf(z)

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