メビウス関数は

μ(n)=1・・・n=1

μ(n)=0・・・nが平方数で割り切れるとき

μ(n)=(-1)^k・・・nがk個の相異なる素数の積であるとき

のように定義される。n=1と２乗因子がない整数に対してのみμ(n)≠0となる

ゼータ関数の逆数1/ζ(s)をディリクレ級数に展開したときの係数であり、Σ(1,∞)μ(n)/n=0 Σ(1,∞)μ(n)/n=0 Σ(1,∞)μ(n)/n・ln(n)=-1 Σ(1,∞)μ(n)/n^s=1/ζ(s) Σ(1,∞)μ(n)/n^2=6/π^2

Σ(1,∞)|μ(n)|/n^s=ζ(s)/ζ(2s)

フォン・マンゴルト関数は

Λ(n)=lnp・・・nがnのただ一つの素因数のとき

Λ(n)=0・・・n≠p^mのとき

Σ(1,∞)Λ(n)/n^s=-ζ'(s)/ζ(s)

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【１】メルテン予想の反証

1987年 、メルテンはメビウス関数の部分和:M(N)=Σ(1,N)μ(n)について

|M(N)|＜N^1/2

を持つことを予想したが、1984年に反証された。あるNに対してM(N)/N^1/2＞1.06を示されたのである（もしこの予想が正しかったらリーマン予想も正しいことになったいただろう）

M(N)/Nの収束する速さについては何らかの自明でない限界が存在することになる。

ζ(2s)/ζ(s)のディリクレ級数展開の係数として定義されるλ(n)についても類似の結果が成立する

L(N)=Σ(1,N)λ(n)

|L(N)|＜N^1/2は成り立たない。

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Σ(1,∞)|μ(n)|/n^s=ζ(s)/ζ(2s)

λ(z)=16η(z/2)^8η(2z)^16/η(z)^24=1-16η(z/2)^16η(2z)^8/η(z)^24=16q^1/2-128q+704q^3/2-・・・

η(z)=Δ(z)^1/24=q^1/2Π(1-q^n)

のことであろうか？

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2F1(1/2,1/2;1:x^2)=2/π・K(x)

2F1(1/2,1/2;1:λ(x))=2/π・K(√λ(x))=2/π・K(4η(z/2)^4η(2z)^8/η(z)^12)

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