【２】ランダム行列

　ヒルベルトの推測したランダム・エルミート行列と同種の行列は，後になって，その固有値が核子のエネルギーレベルに対応している原子核物理学の研究によく出てくることがわかった．

　このエネルギーレベルの差として得られる分布が「ウィグナー分布」と呼ばれるものである．ウィグナー分布の詳細については後述することにするが，エネルギースペクトル｛Ｅn｝をエネルギー準位を大きい順に

　　Ｅn≧Ｅn-1≧・・・≧Ｅ1

とならべ，その間隔

　　ΔＥ＝Ｅi−Ｅi

を測定する．そしてＥ〜Ｅ＋ｄＥの間におちる個数を

　　Ｐ（Ｅ）ｄＥ

とする．

　α次のウィグナー分布

　　Ｐ（Ｅ）〜Ｅ^αｅｘｐ（−ａＥ^2）　　　α＝１，２

のような分布はランダムな行列要素をもつエルミート行列の固有値の間隔分布に現れることが知られている．

　　α＝１のとき→ＧＯＥ（実対称行列）

　　α＝２のとき→ＧＵＥ（エルミート行列）

　　α＝４のとき→ＧＳＥ

と呼ばれるのだが，それぞれ，Gaussian (Orthogonal,Unitary,Symplectic) Ensembleの略である．

　固有値の統計を調べる上で，相関関数と呼ばれる量が重要な役割を果たすのだが，それによれば，ΔＥ離れた固有エネルギー対が存在する確率は，α＝２の場合，

　　Ｃ（ΔＥ）＝１−（ｓｉｎπΔＥ／πΔＥ）^2

になる．

　経験的に量子カオス系の固有エネルギーにも同様の相関が見られる．ＧＵＥから得られた相関関数がゼータ関数の零点と密接に関係していることがモンゴメリー，サルナックなどによって示された．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝