【１】素数の間隔分布

　素数定理により，ｘ以下の素数はおよそ

　　ｘ／ｌｏｇｘ

ですから，ｘ以下の素数間の間隔の平均はｌｏｇｘとなるのですが，素数の間隔分布について知られていることは驚くほど少ないのが現状です．

　ｎ番目の素数ｐnに対して，次の素数ｐn+1までの間にある合成数の個数を間隔と定義し，ｇ（ｐn）とおきます．

　　ｇ（ｐn）＝ｐn+1−ｐn−１

もし，素数間隔を差として定義するならば

　　ｇ（ｐn）＝ｐn+1−ｐn

となり，１大きくなるだけのことにすぎません．

　ｎを任意の整数とするとｎ！は合成数で，連続したｎ−１個の整数

　　ｎ！＋２，ｎ！＋３，・・・，ｎ！＋ｎ

はすべて合成数となりますから，ｎ！＋２以下の最大の素数をｐととすれば

　　ｇ（ｐ）≧ｎ−１

となって，ｇ（ｐ）はいくらでも大きくなりうることがわかります．

　素数定理より，ｇ（ｐ）／ｌｏｇｐの平均値が１であることがわかりますが，リーマン予想を正しいものとして受け入れるならば，ｇ（ｐ）の上界が

　　ｇ（ｐ）＜ｋｐ^(1/2)ｌｏｇｐ

で押さえられることが示されています．

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