ベイカーはβ0+β1loga1+β2loga2+・・・+βnlogan≠0において、その値の下限を具体的に計算できる形で与えた、その評価を用いて、ディオファントス方程式の整数解の個数と大きさの評価、類数が小さい2次体の分類などを解決し、1970年にフィールズ賞を受賞しています。

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αiとβiを代数的数とし、対数logβiは2πiの整数倍の違いを除いて定まる。もし、線形結合

L(α)=α0+α1logβ1+α2logβ2+・・・

が０でなければ、その大きさは具体的に表示される数によって、下から

|L(α)|≧c・H(α)^(-c')

と抑えられる。高さH(α)。c,c'はいくつかのβのみによる具体的な定数である。

これから解の個数の有限性が導かれる。

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αを代数的数、bを有理整数としたときに零でない対数１次形式

Λ=b1logα1+・・・+bnlogαn

に対して下からの評価を与えるベイカー・ヴュストルツの定理とは

log|Λ|＞-c(n,d)h'(α1)・・・h'(αn)h'(L)

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絶対対数的高さ関数とはa,bが互いに素な整数のとき、h(b/a)=max(log|a|,log|b|)を満たす関数

h'は通常のヴェイユの絶対対数的高さを多少修正したもの

c(n,d)=18(n+1)!n^(n+1)(32d)^(n+2)log(2nd)

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