結局

p^m-1=ｐ1^α1・ｐ2^α2・・・ｐk^αk　　（ｐ1＜ｐ2＜・・・＜ｐk）

φ(p^m-1)=Πｐi^αi-1・（ｐi-1）

ｐi=Nm+1

となるものがあることを示せればよいのだが・・・。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］ｐを素数，ｑをp^m-1の素因数とする

　ｐ^ｍ＝１　　（ｍｏｄｑ）ならば，ｑ＝１　　（ｍｏｄｍ）である

　ｑ＝１　　（ｍｏｄｍ）ならば、ｐ^ｍ＝１　　（ｍｏｄｑ）である。

を証明すればよい。

位数の法則

modpでのaの位数をeとする。このとき

a^n=1(modp)ならば、ｎはeの倍数。とくにp-1はeの倍数

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

素数ｑをp^ｍ-1の約数とすると

ｐ^m=1 (modq)

modqにおけるｐの位数をeとおくと、位数の法則よりeの可能性はmの約数に限られる。

eをｋと仮定するとｐ^e=1 (modq)より

ｐ^e+1=ｐ、ｐ^e+2=ｐ^2、・・・ｐ^m＝ｐ^e+m、となって、 ｐ^m=1 (modq)に反する。

よって、e=m.

位数の法則よりe=mはｑ−1の約数。ｑ＝1(modm)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝