【２】オイラー関数φ(n)の漸近挙動

　オイラー関数φ(n)（ｎより小さくｎの互いに素な正整数の個数関数）は多くの興味深い性質をもっています．

　　σ(n)＋φ(n)＝nｄ(n)

はｎが素数であるための必要十分条件です．その上界・下界は

　　n^(1/2)/n＜φ(n)≦n-1

で与えられますが，１８５７年，リュービルは

　　ζ(s-1)／ζ(s)＝Σφ(n)／ｎ^s

を示しました．

　また，オイラー関数φ(n)の平均値については

　　1/nΣφ(k)/k（φ(n)の平均/n）〜{Σ1/n^2}^(-1)=6/π^2

　　1/n^2Σφ(k)〜3/π^2

のようになります．すなわち，大きいｎの値に対して，オイラー関数φ(n)の平均値は

　　1/nΣφ(k)〜3n/π^2

で近似されます．

　位数ｎのファレイ分数の個数は

　　１＋Σφ(k)

ですが，大きいｎに対して，この和は３（ｎ／π）^2で近似されることになります．また，１８８３年，シルベスターは位数ｎのファレイ分数の和が

　　（１＋Σφ(k)）／２

であることを示しました．

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Φ(n)=Σφ(k)と書くことにすると

Φ(n)/n^2〜3/π^2

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